Teorema 7.14

DEMONSTRE

Se f: M \rightarrow \mathbb{R} é derivável à direita no ponto a \in M \cap M_{+}^{\prime} e além disso f_{+}^{\prime}(a)>0, então existe \delta>0 tal que para x \in M,
\text { se } a<x<a+\delta \Rightarrow f(a)<f(x) \text {. }

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar bem claro o que é dado e o que se pede):
  • Dado: f: M \rightarrow \mathbb{R}.
  • Dado: o ponto a satisfaz a\in M\cap M_{+}^{\prime} (ou seja, a pertence a M e é ponto de acumulação à direita de M).
  • Dado: f é derivável à direita em a, e o valor da derivada à direita é positivo: f_{+}^{\prime}(a)>0.
  • Pedido: provar que existe \delta>0 tal que, para todo x\in M, se a<x<a+\delta então f(a)<f(x).

Passo 2

Vamos escrever claramente o que significa "derivável à direita em a" e o que é f_{+}^{\prime}(a).
  • Definição: f é derivável à direita em a e a derivada à direita é f_{+}^{\prime}(a) significa que o limite
f_{+}^{\prime}(a)=\lim_{\substack{x\to a^{+}\\\ x\in M}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
existe (é finito). Aqui a razão \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} é o quociente de diferença com x>a (porque estamos aproximando a pela direita), e a expressão x\in M lembra que só consideramos x do domínio.
  • Interpretação prática: como o limite existe e vale um número positivo, os quocientes \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} ficam próximos desse número positivo quando x está suficientemente próximo de a pela direita.

Passo 3

Como f_{+}^{\prime}(a)>0, defino uma pequena tolerância \varepsilon positiva a partir desse número. Uma escolha natural e simples é
\varepsilon=\frac{f_{+}^{\prime}(a)}{2}>0.
Essa escolha serve para garantir que o quociente de diferença não apenas seja próximo de f_{+}^{\prime}(a), mas seja estritamente positivo quando x estiver perto de a.

Passo 4

Aplicando a definição de limite (definição \varepsilon- \delta) ao limite que define f_{+}^{\prime}(a): existe \delta>0 tal que, para todo x\in M com 0<x-a<\delta, vale
\left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f_{+}^{\prime}(a)\right|<\varepsilon.
Isto é, para x\in M e a<x<a+\delta os quocientes de diferença estão dentro de uma bola de raio \varepsilon em torno de f_{+}^{\prime}(a).

Passo 5

A partir da desigualdade do Passo 4, podemos deduzir um limite inferior para o quociente. Usando a desigualdade triangular simples,
\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>f_{+}^{\prime}(a)-\varepsilon.
Substituindo \varepsilon=\dfrac{f_{+}^{\prime}(a)}{2} obtemos
\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>\frac{f_{+}^{\prime}(a)}{2}.
Como o lado direito é positivo, concluímos que para todo x\in M com a<x<a+\delta o quociente \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} é estritamente positivo.

Passo 6

Agora multiplicamos a desigualdade do Passo 5 pelo número positivo x-a (positivo porque x>a). Multiplicar por um número positivo preserva a desigualdade; assim
f(x)-f(a)>(x-a)\,\frac{f_{+}^{\prime}(a)}{2}.
O lado direito é estritamente positivo (produto de termos positivos), logo f(x)-f(a)>0. Portanto f(x)>f(a) sempre que x\in M e a<x<a+\delta.

Passo 7

Conclusão final do argumento: a escolha do \delta>0 dada pelo Passo 4 satisfaz a propriedade desejada. Assim provou-se que existe \delta>0 tal que, para todo x\in M com a<x<a+\delta, tem-se f(a)<f(x).

Resposta

Existe \delta>0 tal que, para todo x\in M, se a<x<a+\delta então f(a)<f(x).

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