Se f: M \rightarrow \mathbb{R} é derivável à direita no ponto a \in M \cap M_{+}^{\prime} e além disso f_{+}^{\prime}(a)>0, então existe \delta>0 tal que para x \in M,
\text { se } a<x<a+\delta \Rightarrow f(a)<f(x) \text {. }
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar bem claro o que é dado e o que se pede):
Dado: f: M \rightarrow \mathbb{R}.
Dado: o ponto a satisfaz a\in M\cap M_{+}^{\prime} (ou seja, a pertence a M e é ponto de acumulação à direita de M).
Dado: f é derivável à direita em a, e o valor da derivada à direita é positivo: f_{+}^{\prime}(a)>0.
Pedido: provar que existe \delta>0 tal que, para todo x\in M, se a<x<a+\delta então f(a)<f(x).
Passo 2
Vamos escrever claramente o que significa "derivável à direita em a" e o que é f_{+}^{\prime}(a).
Definição: f é derivável à direita em a e a derivada à direita é f_{+}^{\prime}(a) significa que o limite
existe (é finito). Aqui a razão \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} é o quociente de diferença com x>a (porque estamos aproximando a pela direita), e a expressão x\in M lembra que só consideramos x do domínio.
Interpretação prática: como o limite existe e vale um número positivo, os quocientes \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} ficam próximos desse número positivo quando x está suficientemente próximo de a pela direita.
Passo 3
Como f_{+}^{\prime}(a)>0, defino uma pequena tolerância \varepsilon positiva a partir desse número. Uma escolha natural e simples é
\varepsilon=\frac{f_{+}^{\prime}(a)}{2}>0.
Essa escolha serve para garantir que o quociente de diferença não apenas seja próximo de f_{+}^{\prime}(a), mas seja estritamente positivo quando x estiver perto de a.
Passo 4
Aplicando a definição de limite (definição \varepsilon-\delta) ao limite que define f_{+}^{\prime}(a): existe \delta>0 tal que, para todo x\in M com 0<x-a<\delta, vale
Como o lado direito é positivo, concluímos que para todo x\in M com a<x<a+\delta o quociente \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} é estritamente positivo.
Passo 6
Agora multiplicamos a desigualdade do Passo 5 pelo número positivo x-a (positivo porque x>a). Multiplicar por um número positivo preserva a desigualdade; assim
f(x)-f(a)>(x-a)\,\frac{f_{+}^{\prime}(a)}{2}.
O lado direito é estritamente positivo (produto de termos positivos), logo f(x)-f(a)>0. Portanto f(x)>f(a) sempre que x\in M e a<x<a+\delta.
Passo 7
Conclusão final do argumento: a escolha do \delta>0 dada pelo Passo 4 satisfaz a propriedade desejada. Assim provou-se que existe \delta>0 tal que, para todo x\in M com a<x<a+\delta, tem-se f(a)<f(x).
Resposta
Existe \delta>0 tal que, para todo x\in M, se a<x<a+\delta então f(a)<f(x).