DEMONSTRE
Se f: M \rightarrow \mathbb{R} é derivável à direita no ponto a \in M \cap M_{+}^{\prime} e além disso f_{+}^{\prime}(a)<0, então existe \delta>0 tal que para x \in M,
\text { se } a<x<a+\delta \Rightarrow f(a)>f(x) \text {. }
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
Dado: f: M \to \mathbb{R} é derivável à direita no ponto a.
Dado: a \in M \cap M_{+}^{\prime}. (Isto significa que a é ponto de acumulação à direita de M: existem pontos de M arbitrariamente próximos e maiores que a.)
Dado: f_{+}^{\prime}(a)<0. Ou seja, o limite da razão incremental à direita é um número negativo.
O que se pede: mostrar que existe \delta>0 tal que, para todo x\in M,\text{se } a<x<a+\delta \quad\Rightarrow\quad f(a)>f(x).
Passo 2
Lembrando a definição do derivado à direita e o que significa o limite:
Como L<0, tem-se \dfrac{L}{2}<0. Então, para todo h com 0<h<\delta e a+h\in M,
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}<\frac{L}{2}<0.
Multiplicando ambos os lados por h>0 (observe que multiplicar por número positivo preserva a desigualdade), obtemos
f(a+h)-f(a)<0,
ou seja
f(a+h)<f(a).
Passo 4
Agora passe da variável h para x. Se x\in M e a<x<a+\delta, então tome h:=x-a. Nesse caso h satisfaz 0<h<\delta e a desigualdade anterior dá f(x)=f(a+h)<f(a). Portanto, para todos os x\in M com a<x<a+\delta vale f(a)>f(x).
Resposta
Existe \delta>0 tal que, para todo x\in M, se a<x<a+\delta então f(a)>f(x).