Teorema 7.15

DEMONSTRE
Se f: M \rightarrow \mathbb{R} é derivável à direita no ponto a \in M \cap M_{+}^{\prime} e além disso f_{+}^{\prime}(a)<0, então existe \delta>0 tal que para x \in M,
\text { se } a<x<a+\delta \Rightarrow f(a)>f(x) \text {. }

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Dado: f: M \to \mathbb{R} é derivável à direita no ponto a.
  • Dado: a \in M \cap M_{+}^{\prime}. (Isto significa que a é ponto de acumulação à direita de M: existem pontos de M arbitrariamente próximos e maiores que a.)
  • Dado: f_{+}^{\prime}(a)<0. Ou seja, o limite da razão incremental à direita é um número negativo.
  • O que se pede: mostrar que existe \delta>0 tal que, para todo x\in M, \text{se } a<x<a+\delta \quad\Rightarrow\quad f(a)>f(x).

Passo 2

Lembrando a definição do derivado à direita e o que significa o limite:
f_{+}^{\prime}(a)=\lim_{h\to0^{+}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Como f_{+}^{\prime}(a) existe e é um número real negativo, denote
L:=f_{+}^{\prime}(a)\quad\text{com}\quad L<0.
A definição do limite diz: para qualquer \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, para todo h com 0<h<\delta e a+h\in M,
\left|\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-L\right|<\varepsilon.

Passo 3

Escolha um \varepsilon conveniente que transforme a informação “limite é L<0” numa desigualdade útil. Como L<0, tome
\varepsilon:=\frac{-L}{2}>0.
Pela definição do limite, existe \delta>0 tal que, para todo h com 0<h<\delta e a+h\in M,
\left|\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-L\right|<\frac{-L}{2}.
A partir desta desigualdade obtemos, removendo o valor absoluto:
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}<L+\frac{-L}{2}= \frac{L}{2}.
Como L<0, tem-se \dfrac{L}{2}<0. Então, para todo h com 0<h<\delta e a+h\in M,
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}<\frac{L}{2}<0.
Multiplicando ambos os lados por h>0 (observe que multiplicar por número positivo preserva a desigualdade), obtemos
f(a+h)-f(a)<0,
ou seja
f(a+h)<f(a).

Passo 4

Agora passe da variável h para x. Se x\in M e a<x<a+\delta, então tome h:=x-a. Nesse caso h satisfaz 0<h<\delta e a desigualdade anterior dá f(x)=f(a+h)<f(a). Portanto, para todos os x\in M com a<x<a+\delta vale f(a)>f(x).

Resposta

Existe \delta>0 tal que, para todo x\in M, se a<x<a+\delta então f(a)>f(x).

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