Teorema 2.19. Seja W um subespaço de um espaço com produto interno V e seja v um vetor de V.
O vetor w em W é uma projeção vetorial do vetor v se e somente se v-w é ortogonal a todo vetor de W.

Passo 1

O enunciado dá um espaço com produto interno V, um subespaço W\subset V e um vetor v\in V. Queremos provar a equivalência entre duas afirmações sobre um vetor w\in W:
  1. w é uma projeção de v sobre W, isto é, w é um vetor de W que fica o mais perto possível de v (formalmente: \|v-w\|\le \|v-u\| para todo u\in W).
  2. v-w é ortogonal a todo vetor de W, isto é, \langle v-w,u\rangle=0 para todo u\in W.
A tarefa é mostrar que (1) e (2) são equivalentes: cada uma implica a outra. Vou provar as duas implicações, explicando passo a passo as propriedades usadas.

Passo 2

Primeiro, lembretes e definições bem mastigados:
  • Produto interno: para x,y\in V escrevemos \langle x,y\rangle. No caso real temos linearidade em ambas as entradas; no caso complexo a propriedade é \langle \alpha x,y\rangle=\alpha\langle x,y\rangle para escalares \alpha e \langle y,x\rangle=\overline{\langle x,y\rangle}. Não precisamos entrar em todos os detalhes técnicos, mas usaremos linearidade na primeira entrada e conjugação quando necessário.
  • Norma a partir do produto interno: \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}. Em particular \|x\|^2=\langle x,x\rangle.
  • Ortogonalidade: dizemos que a é ortogonal a b se \langle a,b\rangle=0. Dizer que v-w é ortogonal a todo vetor de W significa \langle v-w,z\rangle=0 para todo z\in W.
  • Identidade útil (expansão do quadrado): para quaisquer vetores p,q\in V,
\|p+q\|^2=\langle p+q,p+q\rangle=\|p\|^2+\|q\|^2+2\operatorname{Re}\langle p,q\rangle.
No caso real a parte real é desnecessária e aparece simplesmente 2\langle p,q\rangle. Vou usar essa identidade sempre que expandir normas ao quadrado.

Passo 3

Prova da implicação (2) \Rightarrow (1): suponha que v-w seja ortogonal a todo vetor de W. Quero mostrar que w minimiza a distância \|v-u\| entre v e vetores u\in W.
Pegue qualquer u\in W. Observe que
v-u=(v-w)+(w-u).
Aplicando a identidade do passo anterior com p=v-w e q=w-u e usando que \langle v-w,w-u\rangle=0 (porque w-u\in W e assumimos v-w ortogonal a todo vetor de W), obtemos
\|v-u\|^2=\|v-w\|^2+\|w-u\|^2+2\operatorname{Re}\langle v-w,w-u\rangle =\|v-w\|^2+\|w-u\|^2.
Como \|w-u\|^2\ge 0, segue que \|v-u\|^2\ge \|v-w\|^2, isto é,
\|v-u\|\ge \|v-w\|.
Como isso vale para todo u\in W, w é um vetor de W que minimiza a distância até v. Portanto w é uma projeção de v sobre W. Essa direção está feita.

Passo 4

Prova da implicação (1) \Rightarrow (2): suponha que w\in W seja uma projeção de v sobre W, ou seja, \|v-w\|\le \|v-u\| para todo u\in W. Quero deduzir que \langle v-w,z\rangle=0 para todo z\in W.
Fixe um vetor arbitrário z\in W. Como W é subespaço, para qualquer escalar real t temos w+t z\in W. Considere a função de uma variável real
\varphi(t)=\|v-(w+t z)\|^2=\|v-w-t z\|^2.
Como w minimiza a distância, t=0 é um ponto de mínimo relativo de \varphi; em particular \varphi(t)\ge \varphi(0) para todo t\in\mathbb{R}. Agora expandimos \varphi(t) usando a identidade do passo 2:
\varphi(t)=\|v-w\|^2-2t\operatorname{Re}\langle v-w,z\rangle+t^2\|z\|^2.
Isto é um polinômio quadrático em t. Para que \varphi(t)\ge\varphi(0)=\|v-w\|^2 para todos os t\in\mathbb{R}, a parte linear em t deve ser zero; caso contrário, escolhendo t suficientemente pequeno e de sinal apropriado tornaríamos \varphi(t)<\varphi(0). Assim obrigatoriamente
\operatorname{Re}\langle v-w,z\rangle=0.
Isto mostra que a parte real do produto interno é zero para qualquer z\in W. Se o espaço V for real, já terminamos: \langle v-w,z\rangle=0.
Se V for complexo, precisamos também anular a parte imaginária. Para isso aplique o mesmo argumento ao vetor iz\in W (pois iz\in W já que W é fechado para multiplicação por escalares complexos). Substituindo z por iz obtemos
\operatorname{Re}\langle v-w,iz\rangle=0.
Mas \langle v-w,iz\rangle=i\langle v-w,z\rangle, e a parte real dessa expressão é -\operatorname{Im}\langle v-w,z\rangle. Portanto \operatorname{Im}\langle v-w,z\rangle=0. Juntando as duas partes, \langle v-w,z\rangle=0 para todo z\in W.
Como z foi arbitrário em W, concluímos que v-w é ortogonal a todo vetor de W. Essa direção também está feita.

Passo 5

Resumo e comentário de conclusão: juntando os dois passos anteriores mostramos que w\in W minimiza \|v-u\| sobre u\in W se e somente se \langle v-w,u\rangle=0 para todo u\in W. Ou, em palavras simples, "o vetor de projeção é exatamente o vetor em W que deixa o erro v-w perpendicular a W". Isto é exatamente o que o teorema pede.

Resposta

O vetor w\in W é uma projeção vetorial de v se e somente se, para todo u\in W, \langle v-w,u\rangle=0.

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