Resolva o PVI:
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
O que a questão pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial. Informações relevantes: a derivada de
em relação a
é
; conhecemos o valor de
em
, que é
.
Passo 2
Como vamos resolver (explicação didática): quando a equação vem na forma
podemos interpretar isso como
e integrar ambos os lados em relação a
. Isso funciona por causa do Teorema Fundamental do Cálculo: integrar a derivada recupera a função original, até uma constante arbitrária. Então a receita é simples: integrar
para obter
mais uma constante de integração
. Não estamos assumindo nada complicado: é apenas antiderivação.
Passo 3
Aplicando a receita ao nosso caso escrevemos
Agora integramos ambos os lados:
A antiderivada de
é
. Para a integral do lado direito usamos a regra do poder: para
,
Aqui
, então
Logo, após integrar obtemos a família de soluções gerais
onde
é constante arbitrária.
Passo 4
Agora aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
em
obtemos
Pela condição inicial isso deve ser igual a
, então
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 5
Verificação rápida (boa prática para a prova): derivando a solução encontrada temos
que coincide com a equação diferencial dada, e
, que satisfaz a condição inicial. Tudo confere.