Resolva o PVI: y^{\prime}(x)=3 x^{2}, y(1)=2.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
y'(x)=3x^{2},\qquad y(1)=2.
O que a questão pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial. Informações relevantes: a derivada de y em relação a x é 3x^{2}; conhecemos o valor de y em x=1, que é 2.

Passo 2

Como vamos resolver (explicação didática): quando a equação vem na forma
\frac{dy}{dx}=f(x),
podemos interpretar isso como dy=f(x)\,dx e integrar ambos os lados em relação a x. Isso funciona por causa do Teorema Fundamental do Cálculo: integrar a derivada recupera a função original, até uma constante arbitrária. Então a receita é simples: integrar f(x) para obter y(x) mais uma constante de integração C. Não estamos assumindo nada complicado: é apenas antiderivação.

Passo 3

Aplicando a receita ao nosso caso escrevemos
\frac{dy}{dx}=3x^{2}\quad\Longrightarrow\quad dy=3x^{2}\,dx.
Agora integramos ambos os lados:
\int dy=\int 3x^{2}\,dx.
A antiderivada de dy é y. Para a integral do lado direito usamos a regra do poder: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=2, então
\int 3x^{2}\,dx=3\cdot\frac{x^{3}}{3}=x^{3}.
Logo, após integrar obtemos a família de soluções gerais
y(x)=x^{3}+C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 4

Agora aplicamos a condição inicial y(1)=2 para determinar C. Substituindo x=1 em y(x)=x^{3}+C obtemos
y(1)=1^{3}+C=1+C.
Pela condição inicial isso deve ser igual a 2, então
1+C=2\quad\Longrightarrow\quad C=1.
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=x^{3}+1.

Passo 5

Verificação rápida (boa prática para a prova): derivando a solução encontrada temos
y'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+1\bigr)=3x^{2},
que coincide com a equação diferencial dada, e y(1)=1^{3}+1=2, que satisfaz a condição inicial. Tudo confere.

Resposta

y(x)=x^{3}+1

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