(2.0) Calcule o determinante da matriz
A=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & -1 & 3 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1 & -1 \\\\ 0 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular o determinante da matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & -1 & 3 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1 & -1 \\\\ 0 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Lista das informações dadas: os elementos de A estão todos indicados na matriz acima. A única pergunta é: qual é \det(A)?

Passo 2

Pequena aula rápida útil para a prova (não se preocupe, é simples e importante):
  • Se você adicionar a uma linha (ou coluna) outra linha (ou coluna) multiplicada por um escalar, o determinante não muda. Em notação: a operação R_i \leftarrow R_i + cR_j (com i\neq j) preserva \det.
  • Se você trocar duas linhas, o determinante muda de sinal: R_i \leftrightarrow R_j faz \det virar -\det.
  • Se você multiplicar uma linha por um escalar k, o determinante é multiplicado por k.
  • Se você consegue transformar a matriz numa matriz triangular (superior ou inferior) usando só operações do primeiro tipo (adição de múltiplos de linhas), então o determinante da matriz original é o produto dos elementos da diagonal da triangular final.
Nós usaremos apenas operações do tipo R_i \leftarrow R_i + cR_j (que preservam o determinante) para triangulizar a matriz e depois multiplicar a diagonal.

Passo 3

Primeira rodada de eliminação: zerar os elementos abaixo do pivô a_{11}=1 na primeira coluna, usando operações que preservam o determinante.
Aplicamos
R_2 \leftarrow R_2 - R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1,
pois R_1=(1,1,2,1).
Calculemos cada nova linha:
R_2 - R_1 = (1-1,\\\ -1-1,\\\ 3-2,\\\ 1-1) = (0,\\\ -2,\\\ 1,\\\ 0),
R_3 - 2R_1 = (2-2,\\\ 1-2,\\\ 1-4,\\\ -1-2) = (0,\\\ -1,\\\ -3,\\\ -3).
A matriz vira
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & -3 & -3 \\\\ 0 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora vamos zerar abaixo do pivô na segunda coluna ( a_{22}=-2). Usaremos operações que somam múltiplos de R_2 a outras linhas.
Para zerar a_{32}=-1 fazemos
R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{1}{2}R_2.
Isso é permitido e não altera \det. Calculando:
R_3 - \tfrac{1}{2}R_2 = \bigl(0,\\\ -1 - \tfrac{1}{2}(-2),\\\ -3 - \tfrac{1}{2}(1),\\\ -3 - \tfrac{1}{2}(0)\bigr)
= (0,\\\ -1 +1,\\\ -3 - \tfrac{1}{2},\\\ -3) = (0,\\\ 0,\\\ -\tfrac{7}{2},\\\ -3).
Para zerar a_{42}=-2 fazemos
R_4 \leftarrow R_4 - R_2,
calculando:
R_4 - R_2 = (0-0,\\\ -2-(-2),\\\ 0-1,\\\ 1-0) = (0,\\\ 0,\\\ -1,\\\ 1).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -\tfrac{7}{2} & -3 \\\\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Última eliminação: zerar o elemento a_{43}=-1 abaixo do pivô a_{33}=-\tfrac{7}{2}. Aplicamos
R_4 \leftarrow R_4 - \frac{2}{7}R_3.
Isso preserva o determinante. Calculamos:
\text{entrada }(4,3):\\\ -1 - \frac{2}{7}\Bigl(-\tfrac{7}{2}\Bigr) = -1 - \frac{2}{7}\cdot\bigl(-\tfrac{7}{2}\bigr) = -1 - (-1) = 0.
\text{entrada }(4,4):\\\ 1 - \frac{2}{7}(-3) = 1 + \frac{6}{7} = \frac{13}{7}.
Assim obtemos a matriz triangular superior
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -\tfrac{7}{2} & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{13}{7} \end{pmatrix}.

Passo 6

Agora usamos o fato: como só fizemos operações do tipo R_i \leftarrow R_i + cR_j (que não alteram o determinante), o determinante original de A é igual ao determinante desta matriz triangular. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Portanto
\det(A) = 1 \cdot (-2) \cdot \left(-\tfrac{7}{2}\right) \cdot \tfrac{13}{7}.
Façamos a conta passo a passo:
1\cdot(-2) = -2,
-2\cdot\left(-\tfrac{7}{2}\right) = \cancel{-2}\cdot\left(-\tfrac{7}{2}\right) = 7,
7\cdot\tfrac{13}{7} = 13.
Logo \det(A)=13.

Resposta

13

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