(9)O teorema de Ernshaw diz que nenhuma partícula pode estar em equilíbrio estável sob a ação de forças puramente eletrostáticas. Considere, porém, um quadrado com cargas iguais (q) em seus vértices. Uma carga colocada no centro do quadrado está livre de força elétrica. Parece portanto uma situação de equilíbrio que contraria o teorema de Ernshaw. Mostre que esse não é o caso.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede. A ideia é investigar um quadrado de lado com quatro cargas iguais nos vértices e uma carga-teste no centro. Segundo o teorema de Earnshaw, não existe equilíbrio estável só com forças eletrostáticas, mas parece que aqui a força no centro é zero – será que é estável?
Conteúdo: energia potencial eletrostática, equilíbrio estável (mínimo de U), e expansão de Taylor até segundo grau para testar estabilidade.
Passo 2
Primeiro escrevemos a energia potencial da carga-teste no centro:
Cada vértice está a uma distância
A energia de interação com uma carga é . Como há 4 vértices,
Até aqui sabemos que a força resultante no centro é zero (equilíbrio), mas falta ver se é estável.
Passo 3
Agora deslocamos a carga-teste um pouquinho, digamos para a direita (eixo ). As distâncias viram:
para as duas cargas à direita (num ponto ):
para as duas à esquerda (em ):
Logo
Passo 4
Para saber estabilidade fazemos expansão para (Taylor até ). Usando
onde e , chegamos a
A parte quadrática é .
Como , , o coeficiente de é negativo, isto é
Isso significa que tem máximo no centro, não mínimo.
Resposta
O equilíbrio no centro é instável (potencial em máximo), logo não viola o teorema de Earnshaw.