Teorema Fundamental do Cálculo.
Considere a curva
em
que é a interseção do plano
com o parabolóide
. Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado dá a curva
que é a interseção do plano
com o parabolóide
, com
. A função é
.
O que devemos calcular é .
Informações importantes extraídas do enunciado:
O que devemos calcular é
Informações importantes extraídas do enunciado:
- Pela condição
e segue que, ao restringir a , a curva satisfaz e . - Como
e , temos . - Pontos extremos da curva:
e ; o “fundo” da parábola é . - O enunciado pede a integral ao longo da curva
do gradiente de . (A notação sugere a integral de linha do campo vetorial ao longo de .)
Passo 2
Calculemos o gradiente de
. O gradiente é o vetor das derivadas parciais; para uma função
temos
Aplicando em
obtemos
Explicação rápida: cada componente é a taxa de variação de
na direção do eixo correspondente; aqui
cresce com coeficiente
em cada direção.
Passo 3
Teorema fundamental para integrais de linha (linha-conservativa): se um campo vetorial
é gradiente de alguma função potencial
, isto é
, então a integral de linha de
ao longo de uma curva
orientada de
até
é
Aqui
é o vetor tangente diferencial da curva. Esse teorema é muito prático: em vez de integrar componente a componente, basta avaliar a função potencial nos extremos. No nosso caso
, logo a integral de linha reduz-se a
, desde que especifiquemos a orientação da curva.
Passo 4
Escolhemos uma parametrização natural da curva
. Como vimos, pontos em
são
com
. Tomemos o parâmetro
igual a
e parametricemos
Com essa escolha a curva vai de
até
. O vetor diferencial é
Passo 5
Vamos computar a integral diretamente e também verificar pelo teorema fundamental.
Cálculo direto: usamos
e fazemos o produto escalar com
:
Portanto
Calculando a integral:
Passo 6
Verificação pelo teorema fundamental: como
é gradiente de
, a integral de linha de
de
até
é
Calculando os valores:
logo a diferença é
, igual ao resultado direto. Isso confirma a aplicação do teorema.
Resposta
2