Teorema Fundamental do Cálculo.
Considere a curva C em \mathbb{R}^{3} que é a interseção do plano x=0 com o parabolóide z=x^{2}+y^{2}, 0 \leq z \leq 1. Calcule \int_{C} \nabla h d C, onde h(x, y, z)=x+y+z.

Passo 1

O enunciado dá a curva C que é a interseção do plano x=0 com o parabolóide z=x^{2}+y^{2}, com 0\le z\le 1. A função é h(x,y,z)=x+y+z.
O que devemos calcular é \int_{C} \nabla h\, dC.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Pela condição x=0 e z=x^{2}+y^{2} segue que, ao restringir a x=0, a curva satisfaz x=0 e z=y^{2}.
  • Como 0\le z\le 1 e z=y^{2}, temos y\in[-1,1].
  • Pontos extremos da curva: (0,-1,1) e (0,1,1); o “fundo” da parábola é (0,0,0).
  • O enunciado pede a integral ao longo da curva C do gradiente de h. (A notação sugere a integral de linha do campo vetorial \nabla h ao longo de C.)

Passo 2

Calculemos o gradiente de h. O gradiente é o vetor das derivadas parciais; para uma função h(x,y,z) temos
\nabla h = \left(\frac{\partial h}{\partial x},\frac{\partial h}{\partial y},\frac{\partial h}{\partial z}\right).
Aplicando em h(x,y,z)=x+y+z obtemos
\nabla h = (1,1,1).
Explicação rápida: cada componente é a taxa de variação de h na direção do eixo correspondente; aqui h cresce com coeficiente 1 em cada direção.

Passo 3

Teorema fundamental para integrais de linha (linha-conservativa): se um campo vetorial F é gradiente de alguma função potencial f, isto é F=\nabla f, então a integral de linha de F ao longo de uma curva C orientada de A até B é
\int_{C} F\cdot d\mathbf{r} = f(B)-f(A).
Aqui d\mathbf{r} é o vetor tangente diferencial da curva. Esse teorema é muito prático: em vez de integrar componente a componente, basta avaliar a função potencial nos extremos. No nosso caso F=\nabla h, logo a integral de linha reduz-se a h(\text{ponto final})-h(\text{ponto inicial}), desde que especifiquemos a orientação da curva.

Passo 4

Escolhemos uma parametrização natural da curva C. Como vimos, pontos em C são (0,y,y^{2}) com y\in[-1,1]. Tomemos o parâmetro t igual a y e parametricemos
\mathbf{r}(t) = (0,t,t^{2}),\qquad t\in[-1,1].
Com essa escolha a curva vai de \mathbf{r}(-1)=(0,-1,1) até \mathbf{r}(1)=(0,1,1). O vetor diferencial é
\frac{d\mathbf{r}}{dt}=(0,1,2t), \qquad d\mathbf{r}=(0,1,2t)\,dt.

Passo 5

Vamos computar a integral diretamente e também verificar pelo teorema fundamental.
Cálculo direto: usamos \nabla h=(1,1,1) e fazemos o produto escalar com d\mathbf{r}:
\nabla h\cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt} = (1,1,1)\cdot(0,1,2t) = 0+1+2t = 1+2t.
Portanto
\int_{C} \nabla h\cdot d\mathbf{r} = \int_{t=-1}^{1} (1+2t)\,dt.
Calculando a integral:
\int_{-1}^{1} (1+2t)\,dt = \left[t+t^{2}\right]_{-1}^{1} = (1+1)-(-1+1)=2-0=2.

Passo 6

Verificação pelo teorema fundamental: como \nabla h é gradiente de h, a integral de linha de \nabla h de \mathbf{r}(-1) até \mathbf{r}(1) é
h\big(\mathbf{r}(1)\big)-h\big(\mathbf{r}(-1)\big).
Calculando os valores:
h\big(0,1,1\big)=0+1+1=2,\qquad h\big(0,-1,1\big)=0-1+1=0,
logo a diferença é 2-0=2, igual ao resultado direto. Isso confirma a aplicação do teorema.

Resposta

2

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