Calcule as integrais abaixo
[3 \mathbf{p t}]
\int \operatorname{sen}^{4}(x) \cos ^{4}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sen}^{4}(x)\cos^{4}(x)\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é \operatorname{sen}^{4}(x)\cos^{4}(x). O objetivo é encontrar uma primitiva (a integral indefinida), ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sen}^{4}(x)\cos^{4}(x). Não há outras condições ou restrições.

Passo 2

Observação útil (identidade básica): temos \sin(2x)=2\sin x\cos x. Vou usar isso para simplificar a potência mista \sin^{4}x\cos^{4}x. Primeiro escrevo \sin^{4}x\cos^{4}x como (\sin^{2}x\cos^{2}x)^{2}. Agora uso a identidade:
\sin^{2}x\cos^{2}x=\left(\frac{\sin(2x)}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\sin^{2}(2x).
Portanto,
\sin^{4}x\cos^{4}x=\left(\frac{1}{4}\sin^{2}(2x)\right)^{2}=\frac{1}{16}\sin^{4}(2x).

Passo 3

Agora preciso reduzir a potência \sin^{4}(2x) para termos mais fáceis de integrar. Uso a fórmula de redução de potência:
\sin^{2}\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Então
\sin^{4}\theta=(\sin^{2}\theta)^{2}=\left(\frac{1-\cos(2\theta)}{2}\right)^{2}=\frac{1-2\cos(2\theta)+\cos^{2}(2\theta)}{4}.
Substituo \cos^{2}(2\theta)=\frac{1+\cos(4\theta)}{2} (mesma fórmula aplicada a \cos^{2}):
\sin^{4}\theta=\frac{1-2\cos(2\theta)+\frac{1+\cos(4\theta)}{2}}{4}=\frac{\tfrac{3}{2}-2\cos(2\theta)+\tfrac{1}{2}\cos(4\theta)}{4}.
Simplificando os fatores:
\sin^{4}\theta=\frac{3-4\cos(2\theta)+\cos(4\theta)}{8}.
Agora aplico isso com \theta=2x:
\sin^{4}(2x)=\frac{3-4\cos(4x)+\cos(8x)}{8}.

Passo 4

Volto ao integrando usando o resultado do Passo 2:
\sin^{4}x\cos^{4}x=\frac{1}{16}\sin^{4}(2x)=\frac{1}{16}\cdot\frac{3-4\cos(4x)+\cos(8x)}{8}=\frac{1}{128}\bigl(3-4\cos(4x)+\cos(8x)\bigr).
Logo a integral fica
\int \sin^{4}x\cos^{4}x\,dx=\int \frac{1}{128}\bigl(3-4\cos(4x)+\cos(8x)\bigr)\,dx.

Passo 5

Faço a integral termo a termo (constante 1/128 é fator comum):
\int \frac{1}{128}\bigl(3-4\cos(4x)+\cos(8x)\bigr)\,dx=\frac{1}{128}\left(\int 3\,dx -4\int \cos(4x)\,dx +\int \cos(8x)\,dx\right).
Calculo cada uma:
  • \displaystyle \int 3\,dx = 3x.
  • \displaystyle \int \cos(4x)\,dx = \frac{\sin(4x)}{4} (porque derivada de \sin(4x) é 4\cos(4x)).
  • \displaystyle \int \cos(8x)\,dx = \frac{\sin(8x)}{8} (porque derivada de \sin(8x) é 8\cos(8x)).

Passo 6

Substituo esses resultados:
\frac{1}{128}\left(3x -4\cdot\frac{\sin(4x)}{4} + \frac{\sin(8x)}{8}\right) =\frac{1}{128}\left(3x -\sin(4x) + \frac{\sin(8x)}{8}\right).
Distribuo e simplifico os coeficientes:
\frac{3x}{128}-\frac{\sin(4x)}{128}+\frac{\sin(8x)}{1024}+C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\displaystyle \frac{3x}{128}-\frac{\sin(4x)}{128}+\frac{\sin(8x)}{1024}+C

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