Calcule as integrais abaixo
[3 p t]
\int \frac{x^{2}+x-1}{x^{2}-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo:
\int \frac{x^{2}+x-1}{x^{2}-1}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A integranda é a função \dfrac{x^{2}+x-1}{x^{2}-1}.
  • O denominador \,x^{2}-1\, se anula em \,x=\pm 1, portanto a função não está definida nesses pontos; isso afeta a escrita do resultado em termos de logaritmo absoluto.
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), isto é, uma função cuja derivada seja a integranda, mais a constante de integração.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a fração quando possível. Note que podemos reescrever o numerador separando um termo igual ao denominador:
x^{2}+x-1=(x^{2}-1)+x.
Dividindo pelo denominador,
\frac{x^{2}+x-1}{x^{2}-1}=\frac{(x^{2}-1)+x}{x^{2}-1}=1+\frac{x}{x^{2}-1}.
Isto é útil porque transformou a integral original numa soma de duas integrais mais simples:
\int \frac{x^{2}+x-1}{x^{2}-1}\,dx=\int 1\,dx+\int \frac{x}{x^{2}-1}\,dx.

Passo 3

Calcule a primeira integral, que é direta:
\int 1\,dx = x + C_1.
Aqui C_1 é uma constante de integração que combinaremos com a outra constante no final.

Passo 4

Agora calcule a segunda integral
\int \frac{x}{x^{2}-1}\,dx.
Use a substituição simples: seja \displaystyle u=x^{2}-1. Então derivando, temos \displaystyle du=2x\,dx, ou seja \displaystyle x\,dx=\frac{1}{2}du.
Substituindo na integral:
\int \frac{x}{x^{2}-1}\,dx=\int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du.
A primitiva de 1/u é \ln|u|, portanto
\int \frac{x}{x^{2}-1}\,dx=\frac{1}{2}\ln|u|+C_2=\frac{1}{2}\ln\!\left|x^{2}-1\right|+C_2.

Passo 5

Juntando as duas integrais e unificando constantes de integração ( C=C_1+C_2), obtemos a primitiva da função original:
\int \frac{x^{2}+x-1}{x^{2}-1}\,dx = x + \frac{1}{2}\ln\!\left|x^{2}-1\right| + C.
Lembre-se que o valor absoluto em \ln é necessário porque x^{2}-1 pode ser negativo (para |x|<1), e o logaritmo natural exige argumento positivo; a notação \ln|\,\cdot\,| cuida disso.

Passo 6

Verificação alternativa (útil na prova para checar resultado): decomposição em frações parciais da parte \dfrac{x}{x^{2}-1}. Escrevendo
\frac{x}{x^{2}-1}=\frac{x}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1},
multiplicando por (x-1)(x+1) obtemos x=A(x+1)+B(x-1). Tomando x=1 1=2A\Rightarrow A=\tfrac{1}{2}. Tomando x=-1 -1=-2B\Rightarrow B=\tfrac{1}{2}. Assim
\frac{x}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}\right).
Integrando esta expressão obtemos
\frac{1}{2}\ln|x-1|+\frac{1}{2}\ln|x+1|=\frac{1}{2}\ln\!\big| (x-1)(x+1)\big|=\frac{1}{2}\ln\!\left|x^{2}-1\right|,
o que confirma o resultado anterior.

Passo 7

Dica rápida para a prova: quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, tente separar um polinômio que reproduza uma parte do denominador (ou fazer divisão polinomial). Isso frequentemente reduz a integral a termos simples mais uma integral que aceita substituição direta. Sempre verificar singulares e usar \ln|\,\cdot\,| quando aparecer logaritmo de expressão que pode mudar de sinal.

Resposta

x+\dfrac{1}{2}\ln\!\left|x^{2}-1\right|+C

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