O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo:
\int \frac{x^{2}+x-1}{x^{2}-1}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
A integranda é a função \dfrac{x^{2}+x-1}{x^{2}-1}.
O denominador \,x^{2}-1\, se anula em \,x=\pm 1, portanto a função não está definida nesses pontos; isso afeta a escrita do resultado em termos de logaritmo absoluto.
Queremos uma primitiva (integral indefinida), isto é, uma função cuja derivada seja a integranda, mais a constante de integração.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a fração quando possível. Note que podemos reescrever o numerador separando um termo igual ao denominador:
Aqui C_1 é uma constante de integração que combinaremos com a outra constante no final.
Passo 4
Agora calcule a segunda integral
\int \frac{x}{x^{2}-1}\,dx.
Use a substituição simples: seja \displaystyle u=x^{2}-1. Então derivando, temos \displaystyle du=2x\,dx, ou seja \displaystyle x\,dx=\frac{1}{2}du.
Substituindo na integral:
Juntando as duas integrais e unificando constantes de integração (C=C_1+C_2), obtemos a primitiva da função original:
\int \frac{x^{2}+x-1}{x^{2}-1}\,dx = x + \frac{1}{2}\ln\!\left|x^{2}-1\right| + C.
Lembre-se que o valor absoluto em \ln é necessário porque x^{2}-1 pode ser negativo (para |x|<1), e o logaritmo natural exige argumento positivo; a notação \ln|\,\cdot\,| cuida disso.
Passo 6
Verificação alternativa (útil na prova para checar resultado): decomposição em frações parciais da parte \dfrac{x}{x^{2}-1}. Escrevendo
multiplicando por (x-1)(x+1) obtemos x=A(x+1)+B(x-1). Tomando x=1 dá 1=2A\Rightarrow A=\tfrac{1}{2}. Tomando x=-1 dá -1=-2B\Rightarrow B=\tfrac{1}{2}. Assim
Dica rápida para a prova: quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, tente separar um polinômio que reproduza uma parte do denominador (ou fazer divisão polinomial). Isso frequentemente reduz a integral a termos simples mais uma integral que aceita substituição direta. Sempre verificar singulares e usar \ln|\,\cdot\,| quando aparecer logaritmo de expressão que pode mudar de sinal.