Teorema Fundamental do Cálculo pode ser utilizado para calcular integral definida por partes:
\int_{a}^{b} f(x) g^{\prime}(x) d x=\left.f(x) \cdot g(x)\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} g(x) d x
\int_{0}^{1} \operatorname{tg}^{-1} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1}\arctan(x)\,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo em sua forma de integração por partes. Vamos precisar escolher funções u e dv, sabendo que a derivada de \arctan(x) é \tfrac{1}{1+x^{2}} e uma primitiva de 1 é x.

Passo 2

Escolhemos
u=\arctan(x), \quad dv=dx.
Então
du=\frac{1}{1+x^{2}}\,dx, \quad v=x.
Pela fórmula de integração por partes,
\int_{0}^{1}\arctan(x)\,dx = \Bigl[x\,\arctan(x)\Bigr]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}x\cdot\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 3

Calculamos agora
\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
Fazendo a substituição t=1+x^{2}, dt=2x\,dx, obtemos
\int\frac{x}{1+x^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t} =\frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr).
Avaliando de 0 a 1
\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\ln(2).

Passo 4

Substituindo esse resultado na expressão por partes, temos
\int_{0}^{1}\arctan(x)\,dx =\Bigl[x\,\arctan(x)\Bigr]_{0}^{1} -\frac{1}{2}\ln(2) =\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln(2).

Resposta

\int_{0}^{1}\arctan(x)\,dx =\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln(2).

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