Qual o valor da maior solução de e^{\cos (2 x)}=1.5 que está dentro do intervalo [0,3.0] ? Dê a resposta com 6 dígitos corretos.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado pede a maior solução de
e^{\cos(2x)} = 1{,}5
no intervalo [0,3{,}0].
O conteúdo é resolução de equação trigonométrica usando a inversa do cosseno e a forma geral das soluções de \cos(2x)=\text{constante}.

Passo 2

Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
\cos(2x) = \ln(1{,}5).
Chamando \displaystyle c = \ln(1{,}5), temos
c = \ln(1{,}5) \approx 0{,}4054651081.

Passo 3

A solução geral de \cos(2x)=c é
2x = \operatorname{arccos}\text{(c)} + 2\pi k \quad\text{ou}\quad 2x = -\operatorname{arccos}\text{(c)} + 2\pi k,
com k\in\mathbb{Z}. Logo
x = \frac{\operatorname{arccos}\text{(c)}}{2} + k\pi \quad\text{ou}\quad x = -\frac{\operatorname{arccos}\text{(c)}}{2} + k\pi.

Passo 4

Calculamos \alpha = \operatorname{arccos}\text{(c)} numericamente:
\alpha = \operatorname{arccos}\bigl(\ln(1{,}5)\bigr)\approx 1{,}15330787.
Então
x_1(k) = \frac{\alpha}{2} + k\pi,\quad x_2(k) = -\frac{\alpha}{2} + k\pi.
Testando valores de k para 0\le x\le3{,}0:
  • Para k=0:
x_1(0)=\tfrac{\alpha}{2}\approx0{,}576654,\quad x_2(0)=-0{,}576654\;(\text{fora de }[0,3]).
  • Para k=1:
x_1(1)=0{,}576654+\pi\approx3{,}718247\;(\text{>3}),
x_2(1)=\pi-0{,}576654\approx2{,}564939\;(\text{válido}).á
De k\ge2 as soluções ultrapassam 3 e de k<0 ficam abaixo de 0.

Passo 5

As soluções em [0,3{,}0] são aproximadamente
0{,}576654 \quad\text{e}\quad 2{,}564939.
A maior delas é 2{,}564939.

Resposta

2{,}564939

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