Teorema III: O Perfil Parabólico de um Fluido em Rotação. Nosso objetivo: provar rigorosamente que a superfície da água em um balde girando é uma parábola.
a) i. Embora a rapidez v_{θ} seja constante para uma partícula, o vetor \vec{v} muda de direção. Isso significa que há uma aceleração: a aceleração centrípeta, a_{r}=-v_{θ}^{2} / r. Qual é a expressão para a_{r} em termos de ω e r ? i) ii. O fluido gira como um corpo rígido com velocidade angular ω. Qual é a velocidade tangencial v_{θ} de uma partícula a uma distância r do centro?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (i) Encontrar a expressão da aceleração radial (centrípeta) em termos de \omega e r, sabendo que já nos deram a forma \displaystyle a_{r}=-\frac{v_{\theta}^{2}}{r}.
  • (ii) Encontrar a velocidade tangencial v_{\theta} de uma partícula a uma distância r do centro, sabendo que o fluido gira como um corpo rígido com velocidade angular \omega.
    Informações relevantes fornecidas: \displaystyle a_{r}=-\frac{v_{\theta}^{2}}{r} e que a rotação é de corpo rígido com velocidade angular \omega. Neste exercício vamos usar essas duas informações para obter as expressões pedidas.

Passo 2

Entendendo o que é velocidade angular e como ela se relaciona com velocidade tangencial. Pense numa partícula descrevendo um movimento circular de raio r. O deslocamento ao longo do arco é dado por
s = r\theta,
onde \theta é o ângulo (em radianos). Diferenciando em relação ao tempo t obtemos a velocidade escalar ao longo do arco:
\frac{ds}{dt} = r\frac{d\theta}{dt}.
A velocidade angular é exatamente \displaystyle \omega=\frac{d\theta}{dt}. Portanto, a velocidade tangencial (a rapidez ao longo do arco), que chamamos de \displaystyle v_{\theta}, é
v_{\theta}=r\frac{d\theta}{dt}=r\omega.
Isto responde a parte (ii) do enunciado: \displaystyle v_{\theta}=r\omega. Explicação didática: multiplicamos o raio r pela taxa de variação angular \omega para saber quanto arco (distância) se percorre por segundo — é exatamente a velocidade tangencial.

Passo 3

Interpretação física da aceleração centrípeta. Mesmo que o módulo da velocidade \displaystyle v_{\theta} seja constante num movimento circular uniforme, o vetor velocidade muda de direção continuamente. Essa mudança de direção exige uma aceleração apontando para o centro — a aceleração centrípeta. O enunciado já deu a forma dessa aceleração radial:
a_{r}=-\frac{v_{\theta}^{2}}{r}.
Aqui o sinal negativo indica que a aceleração é dirigida para o centro (radialmente para dentro). O módulo é \displaystyle \frac{v_{\theta}^{2}}{r}.

Passo 4

Substituindo \displaystyle v_{\theta}=r\omega na expressão de \displaystyle a_{r}. Vamos colocar a expressão encontrada no Passo 2 dentro da fórmula dada:
a_{r}=-\frac{v_{\theta}^{2}}{r}=-\frac{(r\omega)^{2}}{r}.
Agora desenvolvemos o quadrado e simplificamos:
-\frac{(r\omega)^{2}}{r}=-\frac{r^{2}\omega^{2}}{r}=-r\omega^{2}.
Logo obtemos a expressão simples e muito usada para aceleração radial em rotação rígida:
a_{r}=-\omega^{2}r.
Significado: o módulo da aceleração é \omega^{2}r e o sinal negativo lembra que ela aponta para o centro.

Passo 5

Verificação alternativa curta (útil na prova): em coordenadas polares a componente radial da aceleração para movimento com \displaystyle r= constante e \displaystyle \dot{\theta}=\omega é
a_{r}=-r\dot{\theta}^{2}.
Como \displaystyle \dot{\theta}=\omega, obtemos diretamente
a_{r}=-r\omega^{2},
o mesmo resultado. Isso é prático para lembrar rapidamente durante a prova.

Passo 6

Exemplo numérico para fixar e conferir que as fórmulas fazem sentido. Suponha \displaystyle \omega=2\\ \mathrm{rad/s} e \displaystyle r=0{,}5\\ \mathrm{m}. Então
v_{\theta}=r\omega=0{,}5\cdot 2=1\\ \mathrm{m/s},
e
a_{r}=-\omega^{2}r=-(2)^{2}\cdot 0{,}5=-2\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Também pela fórmula original: \displaystyle a_{r}=-\frac{v_{\theta}^{2}}{r}=-\frac{1^{2}}{0{,}5}=-2\\ \mathrm{m/s^{2}}. As duas formas conferem.

Passo 7

Resumo prático para a prova (dica amiga): memorize a relação \displaystyle v_{\theta}=r\omega e a consequência direta \displaystyle a_{r}=-\omega^{2}r. Se a questão diz “rotação como corpo rígido”, imediatamente use \displaystyle v_{\theta}=r\omega e substitua na fórmula de aceleração centrípeta.

Resposta

(i) \displaystyle a_{r}=-\omega^{2}r
(ii) \displaystyle v_{\theta}=r\omega

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