Teorema III: O Perfil Parabólico de um Fluido em Rotação. Nosso objetivo: provar rigorosamente que a superfície da água em um balde girando é uma parábola.
a) i. Embora a rapidez
seja constante para uma partícula, o vetor
muda de direção. Isso significa que há uma aceleração: a aceleração centrípeta,
. Qual é a expressão para
em termos de
e
? i) ii. O fluido gira como um corpo rígido com velocidade angular
. Qual é a velocidade tangencial
de uma partícula a uma distância
do centro?
a) i. Embora a rapidez
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (i) Encontrar a expressão da aceleração radial (centrípeta) em termos de
e , sabendo que já nos deram a forma . - (ii) Encontrar a velocidade tangencial
de uma partícula a uma distância do centro, sabendo que o fluido gira como um corpo rígido com velocidade angular .
Informações relevantes fornecidas:e que a rotação é de corpo rígido com velocidade angular . Neste exercício vamos usar essas duas informações para obter as expressões pedidas.
Passo 2
Entendendo o que é velocidade angular e como ela se relaciona com velocidade tangencial. Pense numa partícula descrevendo um movimento circular de raio
. O deslocamento ao longo do arco é dado por
onde
é o ângulo (em radianos). Diferenciando em relação ao tempo
obtemos a velocidade escalar ao longo do arco:
A velocidade angular é exatamente
. Portanto, a velocidade tangencial (a rapidez ao longo do arco), que chamamos de
, é
Isto responde a parte (ii) do enunciado:
. Explicação didática: multiplicamos o raio
pela taxa de variação angular
para saber quanto arco (distância) se percorre por segundo — é exatamente a velocidade tangencial.
Passo 3
Interpretação física da aceleração centrípeta. Mesmo que o módulo da velocidade
seja constante num movimento circular uniforme, o vetor velocidade muda de direção continuamente. Essa mudança de direção exige uma aceleração apontando para o centro — a aceleração centrípeta. O enunciado já deu a forma dessa aceleração radial:
Aqui o sinal negativo indica que a aceleração é dirigida para o centro (radialmente para dentro). O módulo é
.
Passo 4
Substituindo
na expressão de
. Vamos colocar a expressão encontrada no Passo 2 dentro da fórmula dada:
Agora desenvolvemos o quadrado e simplificamos:
Logo obtemos a expressão simples e muito usada para aceleração radial em rotação rígida:
Significado: o módulo da aceleração é
e o sinal negativo lembra que ela aponta para o centro.
Passo 5
Verificação alternativa curta (útil na prova): em coordenadas polares a componente radial da aceleração para movimento com
constante e
é
Como
, obtemos diretamente
o mesmo resultado. Isso é prático para lembrar rapidamente durante a prova.
Passo 6
Exemplo numérico para fixar e conferir que as fórmulas fazem sentido. Suponha
e
. Então
e
Também pela fórmula original:
. As duas formas conferem.
Passo 7
Resumo prático para a prova (dica amiga): memorize a relação
e a consequência direta
. Se a questão diz “rotação como corpo rígido”, imediatamente use
e substitua na fórmula de aceleração centrípeta.
Resposta
(i)
(ii)
(ii)