i. O resultado \nabla p=\rho(\vec{g}-\vec{a}) nos diz que a pressão varia na direção de um “vetor de gravidade efetivo”, \vec{G}=\vec{g}-\vec{a}. A superfície livre da água é uma linha de pressão constante ( p=p_{\text {atm }} ). Como o vetor gradiente se relaciona geometricamente com as linhas de nível?
ii. Correto, ele é sempre perpendicular. Portanto, a superfície da água deve ser perpendicular ao vetor \vec{G}. Desenhe os vetores \vec{g} (para baixo) e -\vec{a} (para a esquerda) para encontrar o vetor \vec{G}.
iii. Use a trigonometria do seu desenho para encontrar a inclinação da superfície (d z / d x) e provar que ela é igual a -a_{x} / g.
(c)
Demonstramos que a forma da superfície de um fluido em aceleração uniforme é determinada por um campo de gravidade efetivo \left(\vec{g}_{\text {eftivo }}=\vec{g}-\vec{a}\right), e a superfície livre se alinha perpendicularmente a este campo.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras e dá a relação \nabla p=\rho(\vec{g}-\vec{a}). As perguntas são:
  1. (i) Como o vetor gradiente se relaciona geometricamente com as linhas de nível (linhas de pressão constante)?
  2. (ii) Dado que o gradiente é sempre perpendicular às linhas de nível, concluir que a superfície livre da água (onde p=p_{\text{atm}}) deve ser perpendicular a \vec{G}=\vec{g}-\vec{a} e desenhar os vetores \vec{g} e -\vec{a} para obter \vec{G}.
  3. (iii) Usar trigonometria (do desenho) para obter a inclinação da superfície \dfrac{dz}{dx} e provar que ela é igual a -\dfrac{a_x}{g}.
    Informações dadas e convenções que vou usar (implícitas no enunciado):
  • Coordenadas cartesianas com x horizontal (positivo para a direita) e z vertical (positivo para cima).
  • A gravidade tem módulo g e aponta para baixo.
  • A aceleração do fluido é \vec{a} com componente horizontal \,a_x.
  • Definição útil: \vec{G}=\vec{g}-\vec{a}.

Passo 2

Conceito do gradiente e sua relação com linhas de nível — aula rápida e prática.
  • Para um campo escalar p(x,z) (pressão), a linha de nível é o conjunto de pontos onde p tem um mesmo valor (por exemplo p=p_{\text{atm}}).
  • O gradiente \nabla p é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla p = \left(\frac{\partial p}{\partial x},\;\frac{\partial p}{\partial z}\right).
Significado do gradiente:
  • Direção: \nabla p aponta na direção de máximo crescimento de p.
  • Módulo: \|\nabla p\| é a taxa máxima de variação por unidade de comprimento.
    Prova da perpendicularidade entre \nabla p e uma linha de nível:
  • Seja \vec{t} um vetor tangente à linha de nível (direção ao longo da linha de pressão constante). Ao deslocar-se infinitesimalmente ao longo da linha de nível, p não muda, então a derivada direcional é zero:
\vec{t}\cdot\nabla p = 0.
  • Produto interno nulo significa que \vec{t} é perpendicular a \nabla p.
    Conclusão explícita: geometricamente, o vetor gradiente é sempre perpendicular às linhas de nível (ou superfícies de nível) do campo escalar.

Passo 3

Aplicação ao problema: a superfície livre é uma linha (ou superfície) de pressão constante, logo:
  • Pela relação do enunciado \nabla p=\rho(\vec{g}-\vec{a}) temos que o vetor \nabla p está na direção de \vec{G}=\vec{g}-\vec{a}.
  • Pelo passo 2, a superfície livre (linha de p=p_{\text{atm}}) tem normal paralelo a \nabla p. Portanto, a superfície livre é perpendicular a \vec{G}.
    Como desenhar os vetores (instrução para o desenho):
  • Desenhe \vec{g} como um vetor vertical apontando para baixo com comprimento proporcional a g.
  • Desenhe -\vec{a}. Se \vec{a} tem componente horizontal a_x para a direita, então -\vec{a} aponta para a esquerda com componente -a_x.
  • Soma vetorial: desenhando \vec{g} para baixo e -\vec{a} para a esquerda, a resultante é \vec{G} que aponta para baixo e para a esquerda (diagonal). A superfície livre será uma reta (no plano x\!-\!z) perpendicular a essa diagonal.

Passo 4

Derivação algébrica usando as componentes de \nabla p (método direto que dá a fórmula pedida, com todas as etapas bem explicadas).
  • Expandindo \nabla p=\rho(\vec{g}-\vec{a}) em componentes (e lembrando que a gravidade só tem componente vertical e que adotamos z positivo para cima):
\frac{\partial p}{\partial x}=\rho(g_x-a_x),\qquad \frac{\partial p}{\partial z}=\rho(g_z-a_z).
  • Como \vec{g} aponta para baixo, em componentes usaremos g_x=0 e g_z=-g. Supondo que a aceleração tem apenas componente horizontal a_x (ou que as componentes verticais de \vec{a} são nulas), então a_z=0. Assim:
\frac{\partial p}{\partial x}=\rho(0-a_x)=-\rho a_x,
\frac{\partial p}{\partial z}=\rho(-g-0)=-\rho g.
  • Agora use o fato de que sobre a superfície livre p é constante, então ao deslocar-se ao longo da superfície (pequeno \,dx e correspondente \,dz) tem-se dp=0. Em termos das derivadas parciais:
dp=\frac{\partial p}{\partial x}\,dx+\frac{\partial p}{\partial z}\,dz=0.
  • Dividindo por dx e isolando \dfrac{dz}{dx} (que é a inclinação da superfície):
\frac{dz}{dx}=-\,\frac{\partial p/\partial x}{\partial p/\partial z}.
  • Substituindo as expressões obtidas:
\frac{dz}{dx}=-\frac{-\rho a_x}{-\rho g}.
  • Simplificando (cancele \rho e os sinais cuidadosamente):
\frac{dz}{dx}=-\frac{a_x}{g}.
Comentário sobre o sinal: isto significa que a inclinação da superfície depende do sinal de a_x. Por exemplo, se a_x>0 (aceleração para a direita), então \dfrac{dz}{dx}=-\dfrac{a_x}{g}<0, ou seja, a superfície desce para a direita — coerente com o desenho onde \vec{G} tem componente horizontal negativa.

Passo 5

Verificação geométrica por trigonometria (interpretação alternativa, curta, para fixar a intuição).
  • Componentes de \vec{G} no plano x\!-\!z são G_x=-a_x e G_z=-g.
  • A superfície é perpendicular a \vec{G}. Se chamarmos \theta o ângulo entre a superfície e a horizontal, a inclinação é \tan\theta=\dfrac{dz}{dx}.
  • Relação entre componentes: a reta perpendicular a \vec{G} tem razão vertical/horizontal dada por -G_x/G_z, logo
\frac{dz}{dx}=-\frac{G_x}{G_z}=-\frac{-a_x}{-g}=-\frac{a_x}{g},
o que coincide com o resultado algébrico anterior.

Passo 6

Exemplo numérico rápido (para você sentir que dá pra fazer na prova):
  • Se a_x=1{,}0\\ \text{m/s}^2 e g=9{,}8\\ \text{m/s}^2 então
\frac{dz}{dx}=-\frac{1{,}0}{9{,}8}\approx -0{,}102.
Isto significa que para cada metro na direção +x a superfície cai cerca de 0{,}102\\ \text{m}. Pequeno efeito para acelerações moderadas — faz sentido físico.

Resposta

(i) O vetor gradiente \nabla p é sempre perpendicular às linhas de nível (linhas de pressão constante).
(ii) A superfície livre (onde p=p_{\text{atm}}) é perpendicular ao vetor \vec{G}=\vec{g}-\vec{a}. No desenho, \vec{g} apontando para baixo e -\vec{a} para a esquerda somam para dar \vec{G} na direção diagonal para baixo-esquerda.
(iii) A inclinação da superfície é \dfrac{dz}{dx}=-\dfrac{a_x}{g}.
(c) Confirmado: a forma da superfície é determinada pelo campo de gravidade efetivo \vec{g}_{\text{efetivo}}=\vec{g}-\vec{a} e a superfície livre é perpendicular a esse campo.

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