i. O resultado
nos diz que a pressão varia na direção de um “vetor de gravidade efetivo”,
. A superfície livre da água é uma linha de pressão constante (
). Como o vetor gradiente se relaciona geometricamente com as linhas de nível?
ii. Correto, ele é sempre perpendicular. Portanto, a superfície da água deve ser perpendicular ao vetor
. Desenhe os vetores
(para baixo) e
(para a esquerda) para encontrar o vetor
.
iii. Use a trigonometria do seu desenho para encontrar a inclinação da superfície
e provar que ela é igual a
.
(c)
Demonstramos que a forma da superfície de um fluido em aceleração uniforme é determinada por um campo de gravidade efetivo
, e a superfície livre se alinha perpendicularmente a este campo.
ii. Correto, ele é sempre perpendicular. Portanto, a superfície da água deve ser perpendicular ao vetor
iii. Use a trigonometria do seu desenho para encontrar a inclinação da superfície
(c)
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras e dá a relação
. As perguntas são:
- (i) Como o vetor gradiente se relaciona geometricamente com as linhas de nível (linhas de pressão constante)?
- (ii) Dado que o gradiente é sempre perpendicular às linhas de nível, concluir que a superfície livre da água (onde
) deve ser perpendicular a e desenhar os vetores e para obter . - (iii) Usar trigonometria (do desenho) para obter a inclinação da superfície
e provar que ela é igual a .
Informações dadas e convenções que vou usar (implícitas no enunciado):
- Coordenadas cartesianas com
horizontal (positivo para a direita) e vertical (positivo para cima). - A gravidade tem módulo
e aponta para baixo. - A aceleração do fluido é
com componente horizontal . - Definição útil:
.
Passo 2
Conceito do gradiente e sua relação com linhas de nível — aula rápida e prática.
- Para um campo escalar
(pressão), a linha de nível é o conjunto de pontos onde tem um mesmo valor (por exemplo ). - O gradiente
é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Significado do gradiente:
- Direção:
aponta na direção de máximo crescimento de . - Módulo:
é a taxa máxima de variação por unidade de comprimento.
Prova da perpendicularidade entree uma linha de nível: - Seja
um vetor tangente à linha de nível (direção ao longo da linha de pressão constante). Ao deslocar-se infinitesimalmente ao longo da linha de nível, não muda, então a derivada direcional é zero:
- Produto interno nulo significa que
é perpendicular a .
Conclusão explícita: geometricamente, o vetor gradiente é sempre perpendicular às linhas de nível (ou superfícies de nível) do campo escalar.
Passo 3
Aplicação ao problema: a superfície livre é uma linha (ou superfície) de pressão constante, logo:
- Pela relação do enunciado
temos que o vetor está na direção de . - Pelo passo 2, a superfície livre (linha de
) tem normal paralelo a . Portanto, a superfície livre é perpendicular a .
Como desenhar os vetores (instrução para o desenho): - Desenhe
como um vetor vertical apontando para baixo com comprimento proporcional a . - Desenhe
. Se tem componente horizontal para a direita, então aponta para a esquerda com componente . - Soma vetorial: desenhando
para baixo e para a esquerda, a resultante é que aponta para baixo e para a esquerda (diagonal). A superfície livre será uma reta (no plano ) perpendicular a essa diagonal.
Passo 4
Derivação algébrica usando as componentes de
(método direto que dá a fórmula pedida, com todas as etapas bem explicadas).
- Expandindo
em componentes (e lembrando que a gravidade só tem componente vertical e que adotamos positivo para cima):
- Como
aponta para baixo, em componentes usaremos e . Supondo que a aceleração tem apenas componente horizontal (ou que as componentes verticais de são nulas), então . Assim:
- Agora use o fato de que sobre a superfície livre
é constante, então ao deslocar-se ao longo da superfície (pequeno e correspondente ) tem-se . Em termos das derivadas parciais:
- Dividindo por
e isolando (que é a inclinação da superfície):
- Substituindo as expressões obtidas:
- Simplificando (cancele
e os sinais cuidadosamente):
Comentário sobre o sinal: isto significa que a inclinação da superfície depende do sinal de
. Por exemplo, se
(aceleração para a direita), então
, ou seja, a superfície desce para a direita — coerente com o desenho onde
tem componente horizontal negativa.
Passo 5
Verificação geométrica por trigonometria (interpretação alternativa, curta, para fixar a intuição).
- Componentes de
no plano são e . - A superfície é perpendicular a
. Se chamarmos o ângulo entre a superfície e a horizontal, a inclinação é . - Relação entre componentes: a reta perpendicular a
tem razão vertical/horizontal dada por , logo
o que coincide com o resultado algébrico anterior.
Passo 6
Exemplo numérico rápido (para você sentir que dá pra fazer na prova):
- Se
e então
Isto significa que para cada metro na direção
a superfície cai cerca de
. Pequeno efeito para acelerações moderadas — faz sentido físico.
Resposta
(i) O vetor gradiente
é sempre perpendicular às linhas de nível (linhas de pressão constante).
(ii) A superfície livre (onde ) é perpendicular ao vetor
. No desenho,
apontando para baixo e
para a esquerda somam para dar
na direção diagonal para baixo-esquerda.
(iii) A inclinação da superfície é .
(c) Confirmado: a forma da superfície é determinada pelo campo de gravidade efetivo e a superfície livre é perpendicular a esse campo.
(ii) A superfície livre (onde
(iii) A inclinação da superfície é
(c) Confirmado: a forma da superfície é determinada pelo campo de gravidade efetivo