Agora temos a aceleração. Vamos conectá-la às forças, analisando as direções separadamente.
i. Direção Radial: A "Regra Radial"vem da componente radial de Euler:
. Substitua sua expressão para
e encontre a lei que nos diz como a pressão varia com o raio.
ii. Direção Vertical: A "Regra Vertical"vem da componente z de Euler:
. Como
, qual é a lei para a variação da pressão com a altura?
(b)
i. Direção Radial: A "Regra Radial"vem da componente radial de Euler:
ii. Direção Vertical: A "Regra Vertical"vem da componente z de Euler:
(b)
Passo 1
O que o problema pede e o que já sabemos (lista de dados importantes, sem resolver ainda):
- O enunciado dá a componente radial da equação de Euler:
e pede: substituir a sua expressão para
e encontrar a lei que diz como a pressão varia com o raio.
- O enunciado dá a componente vertical (z) da equação de Euler:
e informa que
. Pede: encontrar a lei para a variação da pressão com a altura.
- Informação que vamos usar (isto normalmente vem do cálculo da aceleração na parte anterior): para um escoamento axisimétrico sem velocidade radial nem vertical e com velocidade azimutal
, a componente radial da aceleração convectiva vale
(Se na sua parte anterior você obteve uma expressão específica para
, por exemplo
no caso de rotação como corpo rígido, podemos substituir essa forma depois.)
- Resumo do que precisamos devolver:
- A lei radial
e a pressão integrada em função de (possivelmente com dependência em como constante de integração). - A lei vertical
e a pressão integrada em função de (possivelmente com dependência em como constante de integração).
- A lei radial
Passo 2
Entendendo a equação radial e o significado das grandezas (mini-aula): a equação
é o balanço entre aceleração (forças inerciais por unidade de volume) e gradiente de pressão na direção radial. Aqui:
-
é a densidade do fluido (assumimos constante se não foi dito o contrário). -
é a aceleração radial (m/s ). -
é a pressão (Pa).
A interpretação física: uma aceleração radial (por exemplo centrífuga para um fluido em rotação) precisa ser equilibrada por um gradiente de pressão. Vamos agora substituir a expressão conhecida de.
Passo 3
Substituição e arranjo da equação radial (passo a passo):
- Substituímos
em . - O lado esquerdo fica
- Igualando aos dois lados da equação de Euler radial:
- Cancelando o sinal negativo em ambos os lados obtemos a forma explícita do gradiente radial de pressão:
Essa é a “Regra Radial” em forma diferencial: o gradiente radial de pressão é igual à densidade vezes
.
Passo 4
Integração da equação radial para obter
(explicando constantes):
- Para obter a pressão como função de
(fixando ), integramos em a partir de um ponto de referência, por exemplo até :
- Logo, a pressão em função de
e fica
- Observações úteis para prova: a constante de integração
pode depender de , porque a integração foi feita mantendo fixo. Em palavras: a variação radial da pressão adiciona um termo que depende de sobre uma “linha” vertical cujo valor de referência pode variar com .
Passo 5
Caso particular simples: rotação como corpo rígido (
) — cálculo explícito (exemplo prático)
- Se
, onde é a velocidade angular constante, então
- Integramos:
- Portanto, no caso de rotação de corpo rígido a lei radial fica
Interpretação física: a pressão cresce quadraticamente com o raio por causa da força centrífuga.
Passo 6
Análise da direção vertical (mini-aula e substituição):
- A equação que nos deram é
- O enunciado diz que
, ou seja, não há aceleração vertical média (fluido está em equilíbrio vertical ou o movimento vertical é nulo). - Substituindo
obtemos
- Rearranjando,
Essa é a forma diferencial da famosa lei hidrostática: o gradiente vertical da pressão equilibra o peso do fluido por unidade de volume.
Passo 7
Integração da lei vertical e combinação com a lei radial:
- Integrando em
(fixando ), obtemos
ou seja
- Lembrete: a constante de integração
pode depender de — isso é consistente com o resultado radial obtido antes. - Se juntarmos ambos os resultados (caso geral quando
é conhecido) podemos escrever a expressão completa:
- No caso particular de rotação sólida
, isso dá
- Interpretação final (para manter na prova): a pressão aumenta com
por causa da aceleração centrífuga e diminui linearmente com por causa da gravidade. Use sempre a densidade como fator que conecta forças por unidade de volume ao gradiente de pressão.