Agora temos a aceleração. Vamos conectá-la às forças, analisando as direções separadamente.
i. Direção Radial: A "Regra Radial"vem da componente radial de Euler: \rho a_{r}=-\frac{\partial p}{\partial r}. Substitua sua expressão para a_{r} e encontre a lei que nos diz como a pressão varia com o raio.
ii. Direção Vertical: A "Regra Vertical"vem da componente z de Euler: \rho a_{z}=-\frac{\partial p}{\partial z}-\rho g. Como a_{z}=0, qual é a lei para a variação da pressão com a altura?
(b)

Passo 1

O que o problema pede e o que já sabemos (lista de dados importantes, sem resolver ainda):
  • O enunciado dá a componente radial da equação de Euler:
\rho a_{r} = -\frac{\partial p}{\partial r}
e pede: substituir a sua expressão para a_{r} e encontrar a lei que diz como a pressão varia com o raio.
  • O enunciado dá a componente vertical (z) da equação de Euler:
\rho a_{z} = -\frac{\partial p}{\partial z} - \rho g
e informa que a_{z}=0. Pede: encontrar a lei para a variação da pressão com a altura.
  • Informação que vamos usar (isto normalmente vem do cálculo da aceleração na parte anterior): para um escoamento axisimétrico sem velocidade radial nem vertical e com velocidade azimutal v_{\theta}=v_{\theta}(r), a componente radial da aceleração convectiva vale
a_{r} = -\frac{v_{\theta}^{2}(r)}{r}.
(Se na sua parte anterior você obteve uma expressão específica para v_{\theta}, por exemplo v_{\theta}=\Omega r no caso de rotação como corpo rígido, podemos substituir essa forma depois.)
  • Resumo do que precisamos devolver:
    1. A lei radial \partial p/\partial r e a pressão integrada em função de r (possivelmente com dependência em z como constante de integração).
    2. A lei vertical \partial p/\partial z e a pressão integrada em função de z (possivelmente com dependência em r como constante de integração).

Passo 2

Entendendo a equação radial e o significado das grandezas (mini-aula): a equação
\rho a_{r} = -\frac{\partial p}{\partial r}
é o balanço entre aceleração (forças inerciais por unidade de volume) e gradiente de pressão na direção radial. Aqui:
  • \rho é a densidade do fluido (assumimos constante se não foi dito o contrário).
  • a_{r} é a aceleração radial (m/s ^2).
  • p é a pressão (Pa).
    A interpretação física: uma aceleração radial (por exemplo centrífuga para um fluido em rotação) precisa ser equilibrada por um gradiente de pressão. Vamos agora substituir a expressão conhecida de a_{r}.

Passo 3

Substituição e arranjo da equação radial (passo a passo):
  • Substituímos a_{r} = -\dfrac{v_{\theta}^{2}(r)}{r} em \rho a_{r} = -\dfrac{\partial p}{\partial r}.
  • O lado esquerdo fica
\rho a_{r} = \rho \left(-\frac{v_{\theta}^{2}(r)}{r}\right) = -\rho\frac{v_{\theta}^{2}(r)}{r}.
  • Igualando aos dois lados da equação de Euler radial:
-\rho\frac{v_{\theta}^{2}(r)}{r} = -\frac{\partial p}{\partial r}.
  • Cancelando o sinal negativo em ambos os lados obtemos a forma explícita do gradiente radial de pressão:
\frac{\partial p}{\partial r} = \rho\frac{v_{\theta}^{2}(r)}{r}.
Essa é a “Regra Radial” em forma diferencial: o gradiente radial de pressão é igual à densidade vezes v_{\theta}^{2}/r.

Passo 4

Integração da equação radial para obter p(r,z) (explicando constantes):
  • Para obter a pressão como função de r (fixando z), integramos em r a partir de um ponto de referência, por exemplo r=0 até r:
p(r,z) - p(0,z) = \int_{0}^{r} \rho\frac{v_{\theta}^{2}(r')}{r'}\,\mathrm{d}r'.
  • Logo, a pressão em função de r e z fica
p(r,z) = p(0,z) + \rho\int_{0}^{r}\frac{v_{\theta}^{2}(r')}{r'}\,\mathrm{d}r'.
  • Observações úteis para prova: a constante de integração p(0,z) pode depender de z, porque a integração foi feita mantendo z fixo. Em palavras: a variação radial da pressão adiciona um termo que depende de r sobre uma “linha” vertical cujo valor de referência pode variar com z.

Passo 5

Caso particular simples: rotação como corpo rígido ( v_{\theta}=\Omega r) — cálculo explícito (exemplo prático)
  • Se v_{\theta}(r)=\Omega r, onde \Omega é a velocidade angular constante, então
\frac{v_{\theta}^{2}(r')}{r'} = \frac{(\Omega r')^{2}}{r'} = \Omega^{2} r'.
  • Integramos:
\int_{0}^{r}\rho\frac{v_{\theta}^{2}(r')}{r'}\,\mathrm{d}r' = \rho\int_{0}^{r}\Omega^{2} r'\,\mathrm{d}r' = \rho\Omega^{2}\left[\frac{r'^{2}}{2}\right]_{0}^{r} = \frac{1}{2}\rho\Omega^{2}r^{2}.
  • Portanto, no caso de rotação de corpo rígido a lei radial fica
p(r,z) = p(0,z) + \frac{1}{2}\rho\Omega^{2}r^{2}.
Interpretação física: a pressão cresce quadraticamente com o raio por causa da força centrífuga.

Passo 6

Análise da direção vertical (mini-aula e substituição):
  • A equação que nos deram é
\rho a_{z} = -\frac{\partial p}{\partial z} - \rho g.
  • O enunciado diz que a_{z}=0, ou seja, não há aceleração vertical média (fluido está em equilíbrio vertical ou o movimento vertical é nulo).
  • Substituindo a_{z}=0 obtemos
0 = -\frac{\partial p}{\partial z} - \rho g.
  • Rearranjando,
\frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g.
Essa é a forma diferencial da famosa lei hidrostática: o gradiente vertical da pressão equilibra o peso do fluido por unidade de volume.

Passo 7

Integração da lei vertical e combinação com a lei radial:
  • Integrando em z (fixando r), obtemos
p(r,z) - p(r,0) = -\rho g z,
ou seja
p(r,z) = p(r,0) - \rho g z.
  • Lembrete: a constante de integração p(r,0) pode depender de r — isso é consistente com o resultado radial obtido antes.
  • Se juntarmos ambos os resultados (caso geral quando v_{\theta} é conhecido) podemos escrever a expressão completa:
p(r,z) = p(0,0) + \rho\int_{0}^{r}\frac{v_{\theta}^{2}(r')}{r'}\,\mathrm{d}r' - \rho g z.
  • No caso particular de rotação sólida v_{\theta}=\Omega r, isso dá
p(r,z) = p(0,0) + \frac{1}{2}\rho\Omega^{2}r^{2} - \rho g z.
  • Interpretação final (para manter na prova): a pressão aumenta com r por causa da aceleração centrífuga e diminui linearmente com z por causa da gravidade. Use sempre a densidade \rho como fator que conecta forças por unidade de volume ao gradiente de pressão.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial p}{\partial r}=\rho\frac{v_{\theta}^{2}(r)}{r}\quad\Rightarrow\quad p(r,z)=p(0,z)+\rho\int_{0}^{r}\frac{v_{\theta}^{2}(r')}{r'}\,\mathrm{d}r'.
\displaystyle \frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g\quad\Rightarrow\quad p(r,z)=p(r,0)-\rho g z.

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