(Teorema Integral de Cauchy) Avalie
\oint_{C} f(z) d z onde C é o círculo |z|=1 :
f(z)=z^{n} ( n inteiro positivo)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: o contorno C é o círculo |z|=1.
  • Dado: a função é f(z)=z^{n} com n inteiro positivo.
  • Pedido: calcular \displaystyle \oint_{C} f(z)\,dz.
Observação: quando não especificado, adotamos a orientação positivamente orientada (sentido anti-horário) do contorno C.

Passo 2

Enunciado do Teorema Integral de Cauchy (forma usada aqui): se uma função g é analítica em uma região simplesmente conexa que contém um contorno fechado C e o interior de C, então
\oint_{C} g(z)\,dz = 0.
Explicando devagar: “analítica” significa que g tem derivada complexa em todos os pontos da região; “simply connected” (região simplesmente conexa) significa que a região não tem buracos — por exemplo, o disco interior ao círculo |z|=1 é simplesmente conexo. O teorema diz basicamente que integrais de funções sem singularidades no interior do contorno dão zero.

Passo 3

Mostrar que a hipótese do teorema é satisfeita por f(z)=z^{n}.
  • f(z)=z^{n} é um polinômio em z. Polinômios são funções inteiras, isto é, são analíticas em todo o plano complexo (não têm singularidades em nenhum ponto).
  • O interior do círculo |z|=1 é um disco, que é simplesmente conexo.
    Portanto f é analítica na região que contém C e seu interior, logo as hipóteses do teorema estão satisfeitas.

Passo 4

Aplicar o Teorema Integral de Cauchy.
Pelo teorema, como f é analítica no interior de C,
\oint_{C} z^{n}\,dz = 0.
Uma forma alternativa de ver por que isso dá zero é notar que z^{n} tem uma primitiva (antiderivada) no plano: para n\ge 0 a primitiva é
F(z)=\frac{z^{n+1}}{n+1},
pois F'(z)=z^{n}. Então a integral de z^{n} ao longo de uma curva fechada é F avaliado no ponto final menos no inicial; como a curva é fechada, esses pontos coincidem e a diferença é zero.

Passo 5

Verificação concreta por parametrização (útil na prova se quiser calcular direto sem mencionar Cauchy):
Parametrize o círculo por z(t)=e^{it} com t\in[0,2\pi]. Então dz = i e^{it}\,dt e
\oint_{C} z^{n}\,dz = \int_{0}^{2\pi} \left(e^{it}\right)^{n}\, i e^{it}\,dt = i\int_{0}^{2\pi} e^{i(n+1)t}\,dt.
Calcule a integral:
i\int_{0}^{2\pi} e^{i(n+1)t}\,dt = i\left[\frac{e^{i(n+1)t}}{i(n+1)}\right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{n+1}\bigl(e^{i(n+1)2\pi}-1\bigr).
Como n+1 é inteiro, e^{i(n+1)2\pi}=1, portanto a expressão vale zero. Isso confirma o resultado do Passo 4.

Passo 6

Comentário final curto e encorajador: a integral fechada de z^{n} sobre qualquer círculo centrado na origem (ou, na verdade, sobre qualquer contorno fechado que não passe por singularidade — aqui não há nenhuma) é zero para todo inteiro n\ge 0. Um caso importante que é diferente é n=-1, pois \oint_{C} z^{-1}\,dz = 2\pi i; esse é um exemplo clássico que mostra a exceção quando não existe primitiva global.

Resposta

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