(Teorema Integral de Cauchy) Avalie
onde
é o círculo
:
(
inteiro positivo)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: o contorno
é o círculo . - Dado: a função é
com inteiro positivo. - Pedido: calcular
.
Observação: quando não especificado, adotamos a orientação positivamente orientada (sentido anti-horário) do contorno
.
Passo 2
Enunciado do Teorema Integral de Cauchy (forma usada aqui): se uma função
é analítica em uma região simplesmente conexa que contém um contorno fechado
e o interior de
, então
Explicando devagar: “analítica” significa que
tem derivada complexa em todos os pontos da região; “simply connected” (região simplesmente conexa) significa que a região não tem buracos — por exemplo, o disco interior ao círculo
é simplesmente conexo. O teorema diz basicamente que integrais de funções sem singularidades no interior do contorno dão zero.
Passo 3
Mostrar que a hipótese do teorema é satisfeita por
.
-
é um polinômio em . Polinômios são funções inteiras, isto é, são analíticas em todo o plano complexo (não têm singularidades em nenhum ponto). - O interior do círculo
é um disco, que é simplesmente conexo.
Portantoé analítica na região que contém e seu interior, logo as hipóteses do teorema estão satisfeitas.
Passo 4
Aplicar o Teorema Integral de Cauchy.
Pelo teorema, como
é analítica no interior de
,
Uma forma alternativa de ver por que isso dá zero é notar que
tem uma primitiva (antiderivada) no plano: para
a primitiva é
pois
. Então a integral de
ao longo de uma curva fechada é
avaliado no ponto final menos no inicial; como a curva é fechada, esses pontos coincidem e a diferença é zero.
Passo 5
Verificação concreta por parametrização (útil na prova se quiser calcular direto sem mencionar Cauchy):
Parametrize o círculo por
com
. Então
e
Calcule a integral:
Como
é inteiro,
, portanto a expressão vale zero. Isso confirma o resultado do Passo 4.
Passo 6
Comentário final curto e encorajador: a integral fechada de
sobre qualquer círculo centrado na origem (ou, na verdade, sobre qualquer contorno fechado que não passe por singularidade — aqui não há nenhuma) é zero para todo inteiro
. Um caso importante que é diferente é
, pois
; esse é um exemplo clássico que mostra a exceção quando não existe primitiva global.