(Potencial e Funções Harmônicas) Determine a função harmônica conjugada
para as funções
dadas (Fonte: Bassalo, Cap. 1):
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar uma função harmônica conjugada
para
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função
está explicitada em termos de e . - A tarefa é encontrar
tal que seja uma função holomorfa (ou seja, é uma conjugada harmônica de ). - Não foram dadas restrições de domínio; considerar que
está definida em todo .
Passo 2
O que significa “função harmônica conjugada” e como a vamos achar (a ideia sem cálculos ainda).
- Uma função
é harmônica se satisfaz a equação de Laplace, mas aqui já nos foi dada e queremos sua conjugada harmônica . - Se existe uma função complexa
holomorfa (com ), então e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann. Essas equações relacionam as derivadas parciais de e . - As equações de Cauchy–Riemann escritas com derivadas parciais são:
onde
é a derivada parcial de
em relação a
,
é a derivada parcial em relação a
, e análogamente para
.
- Método prático: calcular
e ; integrar uma das equações de Cauchy–Riemann para obter (apresentando uma função arbitrária de integração), e depois usar a outra equação para determinar essa função arbitrária.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Lembre que
depende só de
e
depende só de
.
- Derivada parcial em relação a
:
Explicação: derivando
dá
e
é tratado como constante.
- Derivada parcial em relação a
:
Explicação: aqui
é constante ao derivar em
.
Passo 4
Usar a equação de Cauchy–Riemann
para começar a obter
. Substituindo o
calculado:
Agora integramos essa igualdade em relação a
(tratando
como constante ao integrar):
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
Passo 5
Determinar a função
usando a outra equação de Cauchy–Riemann
. Primeiro calcule
a partir da expressão obtida:
Pela equação
e usando
(do Passo 3), temos:
Comparando com a expressão de
obtida:
Isso implica
logo
é uma constante, digamos
.
Passo 6
Concluir a forma de
. Substituindo
em
do Passo 4:
onde
é uma constante real arbitrária. Em problemas de conjugada harmônica costuma-se tomar
se não é necessário outro ajuste, pois conjugadas harmônicas são únicas a uma constante aditiva.
Verificação rápida (checar as equações de Cauchy–Riemann):
-
. -
e . Ambas as igualdades conferem.
Comentário intencionalmente didático e leve: uma forma curta de ver isso é reconhecer que
portanto a parte real é
e a parte imaginária é
, que é exatamente a conjugada harmônica (até uma constante).