(Potencial e Funções Harmônicas) Determine a função harmônica conjugada v(x, y) para as funções u(x, y) dadas (Fonte: Bassalo, Cap. 1):
u=e^{x} \cos y

Passo 1

O enunciado dá a função
u(x,y)=e^{x}\cos y
e pede: determinar uma função harmônica conjugada v(x,y) para u.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função u está explicitada em termos de x e y.
  • A tarefa é encontrar v(x,y) tal que u+iv seja uma função holomorfa (ou seja, v é uma conjugada harmônica de u).
  • Não foram dadas restrições de domínio; considerar que u está definida em todo \mathbb{R}^2.

Passo 2

O que significa “função harmônica conjugada” e como a vamos achar (a ideia sem cálculos ainda).
  • Uma função u(x,y) é harmônica se satisfaz a equação de Laplace, mas aqui já nos foi dada u e queremos sua conjugada harmônica v.
  • Se existe uma função complexa f(z)=u(x,y)+i v(x,y) holomorfa (com z=x+iy), então u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann. Essas equações relacionam as derivadas parciais de u e v.
  • As equações de Cauchy–Riemann escritas com derivadas parciais são:
u_x = v_y
u_y = -v_x
onde u_x é a derivada parcial de u em relação a x, u_y é a derivada parcial em relação a y, e análogamente para v_x,v_y.
  • Método prático: calcular u_x e u_y; integrar uma das equações de Cauchy–Riemann para obter v (apresentando uma função arbitrária de integração), e depois usar a outra equação para determinar essa função arbitrária.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de u. Lembre que e^{x} depende só de x e \cos y depende só de y.
  • Derivada parcial em relação a x:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\cos y\bigr)=e^{x}\cos y.
Explicação: derivando e^{x} e^{x} e \cos y é tratado como constante.
  • Derivada parcial em relação a y:
u_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\cos y\bigr)=e^{x}\cdot\frac{d}{dy}(\cos y)=e^{x}(-\sin y)=-e^{x}\sin y.
Explicação: aqui e^{x} é constante ao derivar em y.

Passo 4

Usar a equação de Cauchy–Riemann u_x=v_y para começar a obter v. Substituindo o u_x calculado:
v_y = u_x = e^{x}\cos y.
Agora integramos essa igualdade em relação a y (tratando x como constante ao integrar):
v(x,y)=\int v_y\,dy=\int e^{x}\cos y\,dy = e^{x}\sin y + \varphi(x),
onde \varphi(x) é uma função arbitrária de x (constante de integração em relação a y).

Passo 5

Determinar a função \varphi(x) usando a outra equação de Cauchy–Riemann u_y=-v_x. Primeiro calcule v_x a partir da expressão obtida:
v_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\sin y + \varphi(x)\bigr)=e^{x}\sin y + \varphi'(x).
Pela equação u_y=-v_x e usando u_y=-e^{x}\sin y (do Passo 3), temos:
- e^{x}\sin y = -v_x \quad\Longrightarrow\quad v_x = e^{x}\sin y.
Comparando com a expressão de v_x obtida:
e^{x}\sin y + \varphi'(x)=e^{x}\sin y.
Isso implica
\varphi'(x)=0,
logo \varphi(x) é uma constante, digamos C.

Passo 6

Concluir a forma de v. Substituindo \varphi(x)=C em v(x,y) do Passo 4:
v(x,y)=e^{x}\sin y + C,
onde C é uma constante real arbitrária. Em problemas de conjugada harmônica costuma-se tomar C=0 se não é necessário outro ajuste, pois conjugadas harmônicas são únicas a uma constante aditiva.
Verificação rápida (checar as equações de Cauchy–Riemann):
  • v_y=\frac{\partial}{\partial y}(e^{x}\sin y + C)=e^{x}\cos y = u_x.
  • v_x=\frac{\partial}{\partial x}(e^{x}\sin y + C)=e^{x}\sin y e u_y=-e^{x}\sin y=-v_x. Ambas as igualdades conferem.
Comentário intencionalmente didático e leve: uma forma curta de ver isso é reconhecer que
e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos y + i\sin y),
portanto a parte real é u=e^{x}\cos y e a parte imaginária é e^{x}\sin y, que é exatamente a conjugada harmônica (até uma constante).

Resposta

v(x,y)=e^{x}\sin y + C, onde C é uma constante real.

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