(Potencial e Funções Harmônicas) Determine a função harmônica conjugada v(x, y) para as funções u(x, y) dadas (Fonte: Bassalo, Cap. 1):
u=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função u(x,y)=\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}} e pede para determinar uma função harmônica conjugada v(x,y) tal que u+iv seja (localmente) a parte real de uma função holomorfa.
Informações relevantes:
  • A função u está definida para todos os pontos (x,y) com x^{2}+y^{2}\neq0 (ou seja, no plano com a origem removida).
  • O que se pede é encontrar v(x,y) tal que os pares \big(u,v\big) satisfaçam as relações usuais que permitem construir uma função complexa f(z)=u(x,y)+i v(x,y).

Passo 2

Lembrete didático (ferramenta que vamos usar): se u(x,y) é a parte real de uma função holomorfa f(z)=u+iv, então u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann. Essas equações, escritas em termos de derivadas parciais, são:
u_x = v_y
u_y = -v_x
Aqui u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x}, u_y=\dfrac{\partial u}{\partial y}, v_x=\dfrac{\partial v}{\partial x}, v_y=\dfrac{\partial v}{\partial y}. A estratégia será: calcular u_x e u_y, usar as Cauchy–Riemann para obter expressões para v_x ou v_y e então integrar para achar v.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de u. Escrevendo u(x,y)=x\,(x^{2}+y^{2})^{-1}, aplicamos derivação com respeito a x e a y.
Derivada em relação a x:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(x (x^{2}+y^{2})^{-1}\right) = (x^{2}+y^{2})^{-1} + x\cdot(-1)(x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot(2x).
Simplificando o numerador:
u_x = \frac{x^{2}+y^{2} - 2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Derivada em relação a y:
u_y = \frac{\partial}{\partial y}\!\left(x (x^{2}+y^{2})^{-1}\right) = x\cdot(-1)(x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot(2y) = -\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

Aplicar as equações de Cauchy–Riemann para obter v_x e v_y.
Da primeira equação u_x = v_y obtemos
v_y = \frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Da segunda equação u_y = -v_x obtemos
v_x = -u_y = \frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Agora podemos integrar uma das expressões (a que for mais simples). É mais direto integrar v_x em relação a x, tratando y como constante.

Passo 5

Integrar v_x em relação a x:
v(x,y)=\int v_x\,dx=\int \frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\,dx.
Fazendo a substituição t=x^{2}+y^{2}, tem-se dt=2x\,dx. Assim
\int \frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\,dx = y\int \frac{2x\,dx}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = y\int \frac{dt}{t^{2}} = y\left(-\frac{1}{t}\right)+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y. Voltando a t,
v(x,y) = -\frac{y}{x^{2}+y^{2}} + h(y).

Passo 6

Determinar h(y) exigindo consistência com v_y. Calculamos v_y a partir da expressão obtida:
v_y = \frac{\partial}{\partial y}\!\left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}} + h(y)\right).
Derivando term a term (usar produto/quotient rule ou escrever como -y (x^{2}+y^{2})^{-1}):
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right) = -\frac{1}{x^{2}+y^{2}} + \frac{2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Portanto
v_y = -\frac{1}{x^{2}+y^{2}} + \frac{2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} + h'(y) = \frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} + h'(y).
Mas já tínhamos, pelas Cauchy–Riemann, v_y = \dfrac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}. Comparando, concluímos que
h'(y)=0,
ou seja, h(y) é constante. Chamando essa constante de C, obtemos a expressão final para v.

Passo 7

Conclusão e verificação rápida. Assim
v(x,y) = -\frac{y}{x^{2}+y^{2}} + C,
onde C é uma constante real arbitrária. Pode-se verificar rapidamente que u+iv coincide (até a adição de uma constante imaginária) com a função complexa f(z)=1/z, pois
\frac{1}{z}=\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}= \frac{x}{x^{2}+y^{2}} - i\frac{y}{x^{2}+y^{2}},
logo a parte imaginária de 1/z é -\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}. Observação sobre domínio: tudo vale para (x,y) com x^{2}+y^{2}\neq0 (a origem é excluída).

Resposta

v(x,y)=-\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}+C, com C\in\mathbb{R} (definida para x^{2}+y^{2}\neq0).

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