(Potencial e Funções Harmônicas) Determine a função harmônica conjugada
para as funções
dadas (Fonte: Bassalo, Cap. 1):
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar uma função harmônica conjugada
tal que
seja (localmente) a parte real de uma função holomorfa.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função
está definida para todos os pontos com (ou seja, no plano com a origem removida). - O que se pede é encontrar
tal que os pares satisfaçam as relações usuais que permitem construir uma função complexa .
Passo 2
Lembrete didático (ferramenta que vamos usar): se
é a parte real de uma função holomorfa
, então
e
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann. Essas equações, escritas em termos de derivadas parciais, são:
Aqui
,
,
,
. A estratégia será: calcular
e
, usar as Cauchy–Riemann para obter expressões para
ou
e então integrar para achar
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Escrevendo
, aplicamos derivação com respeito a
e a
.
Derivada em relação a
:
Simplificando o numerador:
Derivada em relação a
:
Passo 4
Aplicar as equações de Cauchy–Riemann para obter
e
.
Da primeira equação
obtemos
Da segunda equação
obtemos
Agora podemos integrar uma das expressões (a que for mais simples). É mais direto integrar
em relação a
, tratando
como constante.
Passo 5
Integrar
em relação a
:
Fazendo a substituição
, tem-se
. Assim
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
. Voltando a
,
Passo 6
Determinar
exigindo consistência com
. Calculamos
a partir da expressão obtida:
Derivando term a term (usar produto/quotient rule ou escrever como
):
Portanto
Mas já tínhamos, pelas Cauchy–Riemann,
. Comparando, concluímos que
ou seja,
é constante. Chamando essa constante de
, obtemos a expressão final para
.
Passo 7
Conclusão e verificação rápida. Assim
onde
é uma constante real arbitrária. Pode-se verificar rapidamente que
coincide (até a adição de uma constante imaginária) com a função complexa
, pois
logo a parte imaginária de
é
. Observação sobre domínio: tudo vale para
com
(a origem é excluída).