(Teorema do Limite Central) Os tempos entre eventos em um determinado experimento aleatório são variáveis aleatórias exponenciais, iid (independentes e identicamente distribuídas) com média
segundos. Encontre a probabilidade do milésimo evento ocorrer entre os intervalos
.
Passo 1
O enunciado diz: os tempos entre eventos são variáveis aleatórias exponenciais, iid, com média
segundos. Queremos a probabilidade de que o milésimo evento ocorra no intervalo
.
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
Passo 2
Propriedades básicas da exponencial que vamos usar (sem pular etapas):
A variável exponencial com média tem densidade
A variável exponencial com média
tem variância
e, para somas iid
, temos
Observação: o somatório exato
tem distribuição Gama com parâmetros
, mas calcular diretamente a probabilidade pelo PDF da Gama é trabalhoso para
. Então usamos uma aproximação assintótica (o Teorema do Limite Central).
Passo 3
Enunciado do Teorema Central do Limite (em linguagem prática, sem jargões pesados):
Se são iid com média
e variância finita
, então para grande
a soma
é aproximadamente normal com média
e variância
. Em fórmula,
Se
onde
é a normal padrão. Aqui “aproximação” significa que, para
grande, as probabilidades podem ser aproximadas por probabilidades da normal padrão com erro pequeno. No nosso caso
e
.
Passo 4
Aplicando o CLT ao nosso problema: queremos
Padronizamos
usando média
e desvio padrão
:
Observe que o fator
cancela no numerador e denominador, então a resposta não depende de
:
Passo 5
Calcule o valor padronizado (o
-score):
Vamos calcular numericamente
. Sabemos que
. Numericamente
. Então
Portanto a probabilidade aproximada é
Passo 6
Usamos a simetria da normal padrão:
, onde
é a função de distribuição da normal padrão. Logo
Para
podemos usar tabela ou calculadora da normal padrão. Uma aproximação por desenvolvimento linear (ou tabela) dá
(portanto
). Se quiser mais precisão, usando uma tabela mais refinada ou computador obtemos
Passo 7
Interpretação final e comentário encorajador: a probabilidade de o milésimo evento acontecer entre
e
é aproximadamente
, ou cerca de
. Repare que esse resultado não depende do valor específico de
— apenas da razão do desvio permitido (
) em relação ao desvio padrão da soma (
). Isso é típico de aproximações pelo CLT: muitos detalhes da distribuição original “desaparecem” na escala normalizada.