(Teorema do Limite Central) Os tempos entre eventos em um determinado experimento aleatório são variáveis aleatórias exponenciais, iid (independentes e identicamente distribuídas) com média m segundos. Encontre a probabilidade do milésimo evento ocorrer entre os intervalos (1000 \pm 50) \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado diz: os tempos entre eventos são variáveis aleatórias exponenciais, iid, com média m segundos. Queremos a probabilidade de que o milésimo evento ocorra no intervalo (1000\pm50)\,m.
Informações dadas e o que é pedido:
\begin{aligned} &\text{Tempos interarrival: iid exponenciais com } \mathbb{E}[X_i]=m.\\\ &\text{Número de somados: } n=1000.\\\ &\text{Somatório dos tempos até o milésimo evento: } S_{1000}=X_1+\cdots+X_{1000}.\\\ &\text{Intervalo pedido: }(1000-50)m \\ \text{até}\\ (1000+50)m, \text{ou seja }950m\\ \text{a}\\\ 1050m.\\\ &\text{Queremos } \mathbb{P}\bigl(950m \le S_{1000} \le 1050m\bigr). \end{aligned}úóééé

Passo 2

Propriedades básicas da exponencial que vamos usar (sem pular etapas):
A variável exponencial com média m tem densidade
f_X(t)=\frac{1}{m}e^{-t/m},\quad t\ge0,
tem variância
\mathrm{Var}(X)=m^2,
e, para somas iid S_n=\sum_{i=1}^n X_i, temos
\mathbb{E}[S_n]=n m,\qquad \mathrm{Var}(S_n)=n m^2.
Observação: o somatório exato S_n tem distribuição Gama com parâmetros (n,\text{scale}=m), mas calcular diretamente a probabilidade pelo PDF da Gama é trabalhoso para n=1000. Então usamos uma aproximação assintótica (o Teorema do Limite Central).

Passo 3

Enunciado do Teorema Central do Limite (em linguagem prática, sem jargões pesados):
Se X_1,\dots,X_n são iid com média \mu e variância finita \sigma^2, então para grande n a soma S_n é aproximadamente normal com média n\mu e variância n\sigma^2. Em fórmula,
\frac{S_n - n\mu}{\sqrt{n}\,\sigma}\approx Z\sim N(0,1),
onde N(0,1) é a normal padrão. Aqui “aproximação” significa que, para n grande, as probabilidades podem ser aproximadas por probabilidades da normal padrão com erro pequeno. No nosso caso \mu=m e \sigma^2=m^2.

Passo 4

Aplicando o CLT ao nosso problema: queremos
\mathbb{P}\bigl(950m \le S_{1000} \le 1050m\bigr).
Padronizamos S_{1000} usando média 1000m e desvio padrão \sqrt{1000}\,m:
\begin{aligned} \mathbb{P}\bigl(950m \le S_{1000} \le 1050m\bigr) &\approx \mathbb{P}\!\left(\frac{950m-1000m}{\sqrt{1000}\,m}\le Z \le \frac{1050m-1000m}{\sqrt{1000}\,m}\right) \\\ &= \mathbb{P}\!\left(\frac{-50m}{\sqrt{1000}\,m}\le Z \le \frac{50m}{\sqrt{1000}\,m}\right). \end{aligned}
Observe que o fator m cancela no numerador e denominador, então a resposta não depende de m:
\mathbb{P}\bigl(950m \le S_{1000} \le 1050m\bigr) \approx \mathbb{P}\!\left(-\frac{50}{\sqrt{1000}}\le Z \le \frac{50}{\sqrt{1000}}\right).

Passo 5

Calcule o valor padronizado (o z-score):
z=\frac{50}{\sqrt{1000}}.
Vamos calcular numericamente \sqrt{1000}. Sabemos que \sqrt{1000}=\sqrt{10^3}=10^{3/2}=10\sqrt{10}. Numericamente \sqrt{1000}\approx31,6227766. Então
z\approx\frac{50}{31,6227766}\approx1,5811.
Portanto a probabilidade aproximada é
\mathbb{P}(-1,5811\le Z\le 1,5811).

Passo 6

Usamos a simetria da normal padrão: \mathbb{P}(-a\le Z\le a)=2\Phi(a)-1, onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão. Logo
\mathbb{P}(-1,5811\le Z\le 1,5811)=2\Phi(1,5811)-1.
Para \Phi(1,5811) podemos usar tabela ou calculadora da normal padrão. Uma aproximação por desenvolvimento linear (ou tabela) dá
\Phi(1,5811)\approx0,9430
(portanto 2\Phi(1,5811)-1\approx0,8860). Se quiser mais precisão, usando uma tabela mais refinada ou computador obtemos
\Phi(1,5811)\approx0,943026\quad\Rightarrow\quad 2\Phi(1,5811)-1\approx0,886052.

Passo 7

Interpretação final e comentário encorajador: a probabilidade de o milésimo evento acontecer entre 950m e 1050m é aproximadamente 0,886, ou cerca de 88{,}6\%. Repare que esse resultado não depende do valor específico de m — apenas da razão do desvio permitido ( 50m) em relação ao desvio padrão da soma ( m\sqrt{1000}). Isso é típico de aproximações pelo CLT: muitos detalhes da distribuição original “desaparecem” na escala normalizada.

Resposta

\mathbb{P}(950m \le S_{1000} \le 1050m)\approx 0,8861

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