Teorema de Liouville. Na formulação Hamiltoniana da Mecânica Clássica, as equações de movimento são obtidas da função Hamiltoniana,
, que, em geral, é a energia mecânica do problema em termos do momento canônico
(que pode ser um momento linear ou angular), da coordenada
e de um parâmetro
que pode depender do tempo. Por exemplo, no caso de um oscilador harmônico simples temos
. As equações de movimento que fornecem a trajetória da partícula são chamadas de equações de Hamilton,
O ponto
fornece então o que chamamos de estado mecânico e pode ser representado em um sistema de coordenadas chamado de espaço de fase. Dado um conjunto de condições iniciais (
), a evolução temporal fornecida pelas equações anteriores gera um conjunto de trajetórias no espaço de fase. O movimento dessas trajetórias nesse espaço pode ser pensado então como o movimento de um fluido cujo campo de velocidades é definido por
. © O resultado do item (a) implica na conservação de qual quantidade mecânica?
Passo 1
Beleza, então o enunciado tá falando do Teorema de Liouville em Mecânica Hamiltoniana. A gente tem uma função Hamiltoniana
e as equações de movimento
Isso gera trajetórias no espaço de fase
, que a gente pode ver como o fluxo de um “fluido” com velocidade
. No item (a) vocês devem ter mostrado que
O que a questão © quer saber é: “Esse resultado (divergência zero) implica a conservação de qual quantidade mecânica?”
Pra resolver isso, a gente vai lembrar um tiquinho de Teorema de Gauss e o que significa divergência zero num fluido.
Pra resolver isso, a gente vai lembrar um tiquinho de Teorema de Gauss e o que significa divergência zero num fluido.
Passo 2
Então, antes de sair cortando caminho, qual é o conteúdo teórico?
- Divergência de um campo de velocidades indica se o fluido “expande” ou “comprime” localmente:
- Teorema de Gauss para volumes: se
em toda a região, o volume de qualquer pedaço do fluido permanece constante com o tempo. - No nosso caso, o “fluido” é o conjunto de pontos
no espaço de fase.
Passo 3
Vamos aplicar isso direto ao nosso contexto:
Como vimos no item (a),
Como vimos no item (a),
Isso diz que o “fluido” das trajetórias em espaço de fase é incompressível. Pelo teorema de Gauss, um volume qualquer no espaço de fase não muda ao longo do tempo — ele nem comprime nem dilata.
Passo 4
Concluindo, o que esse resultado implica em termos de física mecânica? Significa que, conforme o sistema evolui segundo as equações de Hamilton, o volume ocupado pelas trajetórias no espaço de fase (ou seja, o volume em
) se mantém constante.
Resposta
A quantidade conservada é o volume no espaço de fase, ou seja,
é constante no tempo (Teorema de Liouville).