Teorema de Liouville. Na formulação Hamiltoniana da Mecânica Clássica, as equações de movimento são obtidas da função Hamiltoniana, H(q, p ; lambda), que, em geral, é a energia mecânica do problema em termos do momento canônico p (que pode ser um momento linear ou angular), da coordenada q e de um parâmetro lambda que pode depender do tempo. Por exemplo, no caso de um oscilador harmônico simples temos H(q, p ; lambda)=p^2 / 2 m+lambda q^2 / 2. As equações de movimento que fornecem a trajetória da partícula são chamadas de equações de Hamilton,
d qd t=dotq=partial Hpartial p, d pd t=dotp=-partial Hpartial q
O ponto (q, p) fornece então o que chamamos de estado mecânico e pode ser representado em um sistema de coordenadas chamado de espaço de fase. Dado um conjunto de condições iniciais ( q0, p0 ), a evolução temporal fornecida pelas equações anteriores gera um conjunto de trajetórias no espaço de fase. O movimento dessas trajetórias nesse espaço pode ser pensado então como o movimento de um fluido cujo campo de velocidades é definido por v=(dotq, dotp). © O resultado do item (a) implica na conservação de qual quantidade mecânica?

Passo 1

Beleza, então o enunciado tá falando do Teorema de Liouville em Mecânica Hamiltoniana. A gente tem uma função Hamiltoniana
H(q,p;lambda)
e as equações de movimento
dot q = partial Hpartial p, dot p = -partial Hpartial q
Isso gera trajetórias no espaço de fase nablacdot v = partialdot qpartial q + partialdot ppartial p = 0 , que a gente pode ver como o fluxo de um “fluido” com velocidade . No item (a) vocês devem ter mostrado que
O que a questão © quer saber é: “Esse resultado (divergência zero) implica a conservação de qual quantidade mecânica?”
Pra resolver isso, a gente vai lembrar um tiquinho de Teorema de Gauss e o que significa divergência zero num fluido.

Passo 2

Então, antes de sair cortando caminho, qual é o conteúdo teórico?
  1. Divergência de um campo de velocidades indica se o fluido “expande” ou “comprime” localmente: nablacdot v >0 ;Rightarrow;expansão, nablacdot v <0 ;Rightarrow;compressão, nablacdot v =0 ;Rightarrow;incompressível ããí
  2. Teorema de Gauss para volumes: se em toda a região, o volume de qualquer pedaço do fluido permanece constante com o tempo.
  3. No nosso caso, o “fluido” é o conjunto de pontos no espaço de fase.

Passo 3

Vamos aplicar isso direto ao nosso contexto:
Como vimos no item (a),
nablacdot v = partialpartial ql(dot qr) + partialpartial pl(dot pr) = 0
Isso diz que o “fluido” das trajetórias em espaço de fase é incompressível. Pelo teorema de Gauss, um volume qualquer no espaço de fase não muda ao longo do tempo — ele nem comprime nem dilata.

Passo 4

Concluindo, o que esse resultado implica em termos de física mecânica? Significa que, conforme o sistema evolui segundo as equações de Hamilton, o volume ocupado pelas trajetórias no espaço de fase (ou seja, o volume em ) se mantém constante.

Resposta

A quantidade conservada é o volume no espaço de fase, ou seja, é constante no tempo (Teorema de Liouville).

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