Calcular a máxima taxa de absorção de oxigênio (
) por micro-organismos com diâmetro de 2/3 micrometros, os quais estão suspensos em uma solução aquosa agitada em um fermentador a
. O líquido circundante está saturado com
do ar a 1 atm de pressão abs. O micro-organismo apresenta densidade muito próxima à da água. A concentração molar do
(concentração na saturação) em água a
é
e a difusividade do
em água a
é
.
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente achar a taxa máxima de absorção de O₂ (em kmol O₂/(s·m²)) por bactérias que são quase do tamanho da água (diâmetro = 2/3 μm), num fermentador agitado a 37 °C, com a água saturada de O₂.
Conteúdo: transferência de massa por difusão em torno de uma partícula esférica.
O que vamos precisar:
Conteúdo: transferência de massa por difusão em torno de uma partícula esférica.
O que vamos precisar:
- raio da “bactéria” ®
- concentração de O₂ saturado (C∞)
- difusividade do O₂ em água (D)
- modelo de filme difusivo ao redor de uma esfera (Sherwood ≈ 2 ou δ ≈ r)
Passo 2
Calcular o raio da partícula:
diâmetro d = 2/3 μm = 2/3×10⁻⁶ m
logo
diâmetro d = 2/3 μm = 2/3×10⁻⁶ m
logo
Passo 3
Entender o modelo:
Quando a partícula é bem pequena e o meio tá bem agitado, a taxa de massa se limita à difusão num “filme” ao redor dela. A gente pode aproximar δ (espessura do filme) ≈ r.
A lei de Fick pro fluxo é
Quando a partícula é bem pequena e o meio tá bem agitado, a taxa de massa se limita à difusão num “filme” ao redor dela. A gente pode aproximar δ (espessura do filme) ≈ r.
A lei de Fick pro fluxo é
Aqui o sinal só indica direção; beleza, queremos o valor positivo:
Como a superfície da partícula consome todo O₂ que chega,
e
é a concentração de saturação.
Passo 4
Substituir valores:
Então
Resposta
A máxima taxa de absorção de O₂ é aproximadamente