Calcular a máxima taxa de absorção de oxigênio ( Kgmol O2 / s m^2 ) por micro-organismos com diâmetro de 2/3 micrometros, os quais estão suspensos em uma solução aquosa agitada em um fermentador a 37 ^circ C. O líquido circundante está saturado com O2 do ar a 1 atm de pressão abs. O micro-organismo apresenta densidade muito próxima à da água. A concentração molar do O2 (concentração na saturação) em água a 37^circ C é 2,26 times 10^-4 Kgmol O2 / m^3 e a difusividade do O2 em água a 37^circ C é 3,25 times 10^-9 m^2 / s.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente achar a taxa máxima de absorção de O₂ (em kmol O₂/(s·m²)) por bactérias que são quase do tamanho da água (diâmetro = 2/3 μm), num fermentador agitado a 37 °C, com a água saturada de O₂.
Conteúdo: transferência de massa por difusão em torno de uma partícula esférica.
O que vamos precisar:
  • raio da “bactéria” ®
  • concentração de O₂ saturado (C∞)
  • difusividade do O₂ em água (D)
  • modelo de filme difusivo ao redor de uma esfera (Sherwood ≈ 2 ou δ ≈ r)

Passo 2

Calcular o raio da partícula:
diâmetro d = 2/3 μm = 2/3×10⁻⁶ m
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r = d2 = 2/3 times 10^-62 = 13 times 10^-6,m approx 3,33times10^-7,m

Passo 3

Entender o modelo:
Quando a partícula é bem pequena e o meio tá bem agitado, a taxa de massa se limita à difusão num “filme” ao redor dela. A gente pode aproximar δ (espessura do filme) ≈ r.
A lei de Fick pro fluxo é
J = -D,De
Aqui o sinal só indica direção; beleza, queremos o valor positivo:
J = D,Cinfty - Csde
Como a superfície da partícula consome todo O₂ que chega, Csapprox 0 e Cinfty é a concentração de saturação.

Passo 4

Substituir valores:
  • D = 3,25times10^-9,m^2/s
  • Cinfty = 2,26times10^-4,kmol/m^3
  • de
Então
J = 3,25times10^-9times 2,26times10^-43,33times10^-7 = 7,345times10^-133,33times10^-7 approx 2,20times10^-6,kmol/(scdot m^2)

Resposta

A máxima taxa de absorção de O₂ é aproximadamente
boxed2,2times10^-6;kmol;O2/(scdot m^2)

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