Teorema 1. Sejam
M. Se
então existe
tal que
para todo
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
-
Dados:
-
. -
é um ponto de acumulação de (ou seja, ). -
e . - Sabe-se que
.
-
-
O que pedir (o objetivo):
- Mostrar que existe
tal que, para todo com , vale .
- Mostrar que existe
Passo 2
Vou lembrar e explicar o que significa a afirmação
em termos de
-
, porque esse é o conceito que vou usar depois.
- Definição (intuição e forma precisa): dizer que
significa que, para qualquer dado, existe tal que, sempre que e , temos Essa desigualdade significa concretamente que De modo análogo, significa que para qualquer existe (outro) tal que, se e , então isto é,
Passo 3
Agora a ideia chave: como
, posso escolher um
pequeno o suficiente para forçar uma separação entre as faixas
e
. Preciso garantir uma desigualdade estrita do tipo
Resolvendo essa desigualdade em
dá
, ou seja
. Para ter uma escolha concreta e simples, escolho, por exemplo,
Esse
é positivo porque
. Com essa escolha temos de fato
pois a diferença é
Passo 4
Aplicando a definição de limite com o
escolhido:
-
Como
, existe tal que, para todo com , isto é, -
Como
, existe tal que, para todo com , isto é,
Essas duas propriedades surgem diretamente da definição de limite explicada no Passo 2.
Passo 5
Agora combino as duas condições simultaneamente. Seja
Então, sempre que
e
, valem ambas as desigualdades obtidas no Passo 4. Logo para tais
temos
Pelo Passo 3 sabemos que
. Portanto, concatenando as desigualdades,
Dessa cadeia segue diretamente que
para todo
com
. Isso conclui a prova da existência do
desejado.
Passo 6
Comentário final e intuição rápida: o que foi feito foi “abrir” janelas em torno de
e
suficientemente pequenas e provar que, quando
está suficientemente perto de
(mas distinto de
), os valores
e
caem dentro dessas janelas que não se sobrepõem; como a janela de
fica totalmente à esquerda da janela de
, conclui-se
. A escolha concreta
é só para garantir uma folga que torne as desigualdades estritas; qualquer
com
serve.
Resposta
Existe
tal que, para todo
com
, vale
.