Teorema 1. Sejam f, g: X \rightarrow \mathbb{R}, a \in X^{\prime}, \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L e \lim _{x \rightarrow a} g(x)= M. Se L<M então existe \delta>0 tal que f(x)<g(x) para todo x \in X \operatorname{com} 0<|x-a|<\delta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados:
    • f,g: X \to \mathbb{R}.
    • a é um ponto de acumulação de X (ou seja, a\in X').
    • \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L e \displaystyle \lim_{x\to a} g(x)=M.
    • Sabe-se que L<M.
  • O que pedir (o objetivo):
    • Mostrar que existe \delta>0 tal que, para todo x\in X com 0<|x-a|<\delta, vale f(x)<g(x).

Passo 2

Vou lembrar e explicar o que significa a afirmação \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L em termos de \varepsilon- \delta, porque esse é o conceito que vou usar depois.
  • Definição (intuição e forma precisa): dizer que \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L significa que, para qualquer \varepsilon>0 dado, existe \delta>0 tal que, sempre que x\in X e 0<|x-a|<\delta, temos |f(x)-L|<\varepsilon.Essa desigualdade significa concretamente que L-\varepsilon < f(x) < L+\varepsilon.De modo análogo, \displaystyle \lim_{x\to a} g(x)=M significa que para qualquer \varepsilon>0 existe (outro) \delta>0 tal que, se x\in X e 0<|x-a|<\delta, então |g(x)-M|<\varepsilon,isto é, M-\varepsilon < g(x) < M+\varepsilon.

Passo 3

Agora a ideia chave: como L<M, posso escolher um \varepsilon>0 pequeno o suficiente para forçar uma separação entre as faixas (L-\varepsilon,L+\varepsilon) e (M-\varepsilon,M+\varepsilon). Preciso garantir uma desigualdade estrita do tipo
L+\varepsilon < M-\varepsilon.
Resolvendo essa desigualdade em \varepsilon 2\varepsilon < M-L, ou seja \varepsilon < \dfrac{M-L}{2}. Para ter uma escolha concreta e simples, escolho, por exemplo,
\varepsilon = \frac{M-L}{3}.
Esse \varepsilon é positivo porque M-L>0. Com essa escolha temos de fato
L+\varepsilon < M-\varepsilon,
pois a diferença é
(M-\varepsilon)-(L+\varepsilon)=M-L-2\varepsilon=M-L-\tfrac{2}{3}(M-L)=\tfrac{1}{3}(M-L)>0.

Passo 4

Aplicando a definição de limite com o \varepsilon escolhido:
  • Como \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L, existe \delta_1>0 tal que, para todo x\in X com 0<|x-a|<\delta_1,
    |f(x)-L|<\varepsilon,
    isto é,
    f(x) < L+\varepsilon.
  • Como \displaystyle \lim_{x\to a} g(x)=M, existe \delta_2>0 tal que, para todo x\in X com 0<|x-a|<\delta_2,
    |g(x)-M|<\varepsilon,
    isto é,
    g(x) > M-\varepsilon.
Essas duas propriedades surgem diretamente da definição de limite explicada no Passo 2.

Passo 5

Agora combino as duas condições simultaneamente. Seja
\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}.
Então, sempre que x\in X e 0<|x-a|<\delta, valem ambas as desigualdades obtidas no Passo 4. Logo para tais x temos
f(x) < L+\varepsilon \quad\text{e}\quad g(x) > M-\varepsilon.
Pelo Passo 3 sabemos que L+\varepsilon < M-\varepsilon. Portanto, concatenando as desigualdades,
f(x) < L+\varepsilon < M-\varepsilon < g(x).
Dessa cadeia segue diretamente que f(x)<g(x) para todo x\in X com 0<|x-a|<\delta. Isso conclui a prova da existência do \delta desejado.

Passo 6

Comentário final e intuição rápida: o que foi feito foi “abrir” janelas em torno de L e M suficientemente pequenas e provar que, quando x está suficientemente perto de a (mas distinto de a), os valores f(x) e g(x) caem dentro dessas janelas que não se sobrepõem; como a janela de f fica totalmente à esquerda da janela de g, conclui-se f(x)<g(x). A escolha concreta \varepsilon=(M-L)/3 é só para garantir uma folga que torne as desigualdades estritas; qualquer \varepsilon com 0<\varepsilon<\tfrac{M-L}{2} serve.

Resposta

Existe \delta>0 tal que, para todo x\in X com 0<|x-a|<\delta, vale f(x)<g(x).

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