Seção 2: Conjuntos fechados
Sejam X, Y \subset \mathbb{R}. Prove que \overline{X \cup Y}=\bar{X} \cup \bar{Y} e que \overline{X \cap Y} \subset \bar{X} \cap \bar{Y}. Dê exemplo em que \overline{X \cap Y} \neq \bar{X} \cap \bar{Y}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e um exemplo:
Provar que \overline{X \cup Y}=\overline{X}\cup\overline{Y}.
Provar que \overline{X \cap Y}\subset\overline{X}\cap\overline{Y}.
Dar um exemplo em que a inclusão de cima é estrita, isto é, em que \overline{X \cap Y}\neq\overline{X}\cap\overline{Y}.
Informações dadas: X e Y são subconjuntos quaisquer de \mathbb{R}. Não há hipóteses adicionais (como serem abertos ou fechados).
Passo 2
Primeiro, vamos revisar claramente o conceito que vamos usar (pouco formal, mas preciso):
Definição de fecho (fecho topológico) de um conjunto A: \overline{A} é o menor conjunto fechado que contém A. Uma forma equivalente é: \overline{A} é a interseção de todos os conjuntos fechados que contêm A.
Outra caracterização útil (em \mathbb{R}, metrizable): x\in\overline{A} se e somente se toda vizinhança aberta de x intersecta A. Equivalente ainda: existe uma sequência (a_n) em A com a_n\to x.
Propriedade usada: a união finita de conjuntos fechados é fechada (em particular, a união de dois fechados é fechada). Justificativa curta: o complementar da união é a interseção dos complementares; complementares de fechados são abertos e interseção finita de abertos é aberta, logo complementar da união é aberto, logo a união é fechada.
Vou usar essas caracterizações ao longo da prova. Se alguma delas ficar obscura, diga que eu explico com mais exemplos.
Passo 3
Prova da inclusão \overline{X}\cup\overline{Y}\subset\overline{X\cup Y}.
Raciocínio:
Como X\subset X\cup Y, qualquer conjunto fechado que contém X\cup Y contém também X. Portanto o menor conjunto fechado que contém X\cup Y (isto é, \overline{X\cup Y}) também contém \overline{X}. Mais direto: X\subset X\cup Y implica \overline{X}\subset\overline{X\cup Y}.
Análogomente, Y\subset X\cup Y implica \overline{Y}\subset\overline{X\cup Y}.
Este passo é simples: qualquer ponto que é limite (ou está) de X ou de Y é certamente limite (ou está) do conjunto maior X\cup Y.
Passo 4
Prova da inclusão oposta \overline{X\cup Y}\subset\overline{X}\cup\overline{Y}.
Raciocínio usando a caracterização “menor fechado que contém”:
\overline{X} e \overline{Y} são fechados por definição.
A união de dois fechados é fechada (propriedade de uniões finitas).
Essa união \overline{X}\cup\overline{Y} contém X\cup Y porque \overline{X}\supset X e \overline{Y}\supset Y.
Como \overline{X\cup Y} é a interseção de todos os conjuntos fechados que contêm X\cup Y, ela é contida em qualquer conjunto fechado que contenha X\cup Y. Em particular,
Uma explicação alternativa (sequências): se x\in\overline{X\cap Y} então existe uma sequência (z_n) em X\cap Y com z_n\to x. Como cada z_n pertence a X e a Y, a mesma sequência mostra x\in\overline{X} e x\in\overline{Y}, então x\in\overline{X}\cap\overline{Y}.
Passo 7
Exemplo em que a inclusão é estrita (\overline{X\cap Y}\neq\overline{X}\cap\overline{Y}).
Escolha simples:
Tome X=(0,1) e Y=(1,2) como subconjuntos de \mathbb{R}.
Comentário intuitivo: o ponto 1 é ponto de fecho de ambos X e Y (cada vizinhança de 1 encontra pontos de X e também pontos de Y), mas não é limite de pontos que pertençam simultaneamente a X e a Y, porque X e Y não têm elementos em comum.
Passo 8
Resumo final e dica para a prova em exame:
Para provar igualdades de fechos das uniões, o caminho mais curtinho é usar que o fecho é o menor fechado que contém o conjunto e que união finita de fechados é fechada.
Para interseções, a prova é ainda mais direta: interseção de conjuntos dá inclusão imediata entre fechos.
Em provas escritas, cite claramente a definição que está usando (fecho = menor fechado que contém) para justificar a inclusão que depende dessa propriedade.
Resposta
\overline{X \cup Y}=\overline{X}\cup\overline{Y} \overline{X \cap Y}\subset\overline{X}\cap\overline{Y}
Exemplo: X=(0,1),\;Y=(1,2) dá \overline{X\cap Y}=\varnothing e \overline{X}\cap\overline{Y}=\{1\}, portanto desigualdade estrita.