Seção 2: Conjuntos fechados
Sejam X, Y \subset \mathbb{R}. Prove que \overline{X \cup Y}=\bar{X} \cup \bar{Y} e que \overline{X \cap Y} \subset \bar{X} \cap \bar{Y}. Dê exemplo em que \overline{X \cap Y} \neq \bar{X} \cap \bar{Y}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e um exemplo:
  • Provar que \overline{X \cup Y}=\overline{X}\cup\overline{Y}.
  • Provar que \overline{X \cap Y}\subset\overline{X}\cap\overline{Y}.
  • Dar um exemplo em que a inclusão de cima é estrita, isto é, em que \overline{X \cap Y}\neq\overline{X}\cap\overline{Y}.
Informações dadas: X e Y são subconjuntos quaisquer de \mathbb{R}. Não há hipóteses adicionais (como serem abertos ou fechados).

Passo 2

Primeiro, vamos revisar claramente o conceito que vamos usar (pouco formal, mas preciso):
  • Definição de fecho (fecho topológico) de um conjunto A: \overline{A} é o menor conjunto fechado que contém A. Uma forma equivalente é: \overline{A} é a interseção de todos os conjuntos fechados que contêm A.
  • Outra caracterização útil (em \mathbb{R}, metrizable): x\in\overline{A} se e somente se toda vizinhança aberta de x intersecta A. Equivalente ainda: existe uma sequência (a_n) em A com a_n\to x.
  • Propriedade usada: a união finita de conjuntos fechados é fechada (em particular, a união de dois fechados é fechada). Justificativa curta: o complementar da união é a interseção dos complementares; complementares de fechados são abertos e interseção finita de abertos é aberta, logo complementar da união é aberto, logo a união é fechada.
Vou usar essas caracterizações ao longo da prova. Se alguma delas ficar obscura, diga que eu explico com mais exemplos.

Passo 3

Prova da inclusão \overline{X}\cup\overline{Y}\subset\overline{X\cup Y}.
Raciocínio:
  • Como X\subset X\cup Y, qualquer conjunto fechado que contém X\cup Y contém também X. Portanto o menor conjunto fechado que contém X\cup Y (isto é, \overline{X\cup Y}) também contém \overline{X}. Mais direto: X\subset X\cup Y implica \overline{X}\subset\overline{X\cup Y}.
  • Análogomente, Y\subset X\cup Y implica \overline{Y}\subset\overline{X\cup Y}.
  • Tomando a união das duas inclusões obtemos
\overline{X}\cup\overline{Y}\subset\overline{X\cup Y}.
Este passo é simples: qualquer ponto que é limite (ou está) de X ou de Y é certamente limite (ou está) do conjunto maior X\cup Y.

Passo 4

Prova da inclusão oposta \overline{X\cup Y}\subset\overline{X}\cup\overline{Y}.
Raciocínio usando a caracterização “menor fechado que contém”:
  • \overline{X} e \overline{Y} são fechados por definição.
  • A união de dois fechados é fechada (propriedade de uniões finitas).
  • Essa união \overline{X}\cup\overline{Y} contém X\cup Y porque \overline{X}\supset X e \overline{Y}\supset Y.
  • Como \overline{X\cup Y} é a interseção de todos os conjuntos fechados que contêm X\cup Y, ela é contida em qualquer conjunto fechado que contenha X\cup Y. Em particular,
\overline{X\cup Y}\subset \overline{X}\cup\overline{Y}.

Passo 5

Conclusão para a igualdade:
  • Juntando as inclusões dos Passos 3 e 4 obtemos
\overline{X\cup Y}=\overline{X}\cup\overline{Y}.
Portanto a igualdade está provada.

Passo 6

Prova da inclusão \overline{X\cap Y}\subset\overline{X}\cap\overline{Y}.
Raciocínio direto:
  • X\cap Y\subset X, então \overline{X\cap Y}\subset\overline{X}.
  • Do mesmo modo X\cap Y\subset Y implica \overline{X\cap Y}\subset\overline{Y}.
  • Logo \overline{X\cap Y} está contido em ambos \overline{X} e \overline{Y}, isto é,
\overline{X\cap Y}\subset\overline{X}\cap\overline{Y}.
Uma explicação alternativa (sequências): se x\in\overline{X\cap Y} então existe uma sequência (z_n) em X\cap Y com z_n\to x. Como cada z_n pertence a X e a Y, a mesma sequência mostra x\in\overline{X} e x\in\overline{Y}, então x\in\overline{X}\cap\overline{Y}.

Passo 7

Exemplo em que a inclusão é estrita ( \overline{X\cap Y}\neq\overline{X}\cap\overline{Y}).
Escolha simples:
  • Tome X=(0,1) e Y=(1,2) como subconjuntos de \mathbb{R}.
  • Então X\cap Y=\varnothing, logo
\overline{X\cap Y}=\overline{\varnothing}=\varnothing.
  • Por outro lado
\overline{X}=[0,1],\qquad \overline{Y}=[1,2],
então
\overline{X}\cap\overline{Y}=[0,1]\cap[1,2]=\{1\}.
  • Assim
\overline{X\cap Y}=\varnothing \subsetneq \{1\}=\overline{X}\cap\overline{Y},
ou seja, a inclusão é estrita neste exemplo.
Comentário intuitivo: o ponto 1 é ponto de fecho de ambos X e Y (cada vizinhança de 1 encontra pontos de X e também pontos de Y), mas não é limite de pontos que pertençam simultaneamente a X e a Y, porque X e Y não têm elementos em comum.

Passo 8

Resumo final e dica para a prova em exame:
  • Para provar igualdades de fechos das uniões, o caminho mais curtinho é usar que o fecho é o menor fechado que contém o conjunto e que união finita de fechados é fechada.
  • Para interseções, a prova é ainda mais direta: interseção de conjuntos dá inclusão imediata entre fechos.
  • Em provas escritas, cite claramente a definição que está usando (fecho = menor fechado que contém) para justificar a inclusão que depende dessa propriedade.

Resposta

\overline{X \cup Y}=\overline{X}\cup\overline{Y}
\overline{X \cap Y}\subset\overline{X}\cap\overline{Y}
Exemplo: X=(0,1),\;Y=(1,2) \overline{X\cap Y}=\varnothing e \overline{X}\cap\overline{Y}=\{1\}, portanto desigualdade estrita.

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