Sejam X, Y conjuntos disjuntos e não-vazios, com X compacto e Y fechado. Prove que existem x_{0} \in X, y_{0} \in Y tais que
\left|x_{0}-y_{0}\right| \leq|x-y| para quaisquer x \in X, y \in Y.
5. Um conjunto compacto cujos pontos são todos isolados é finito. Dê exemplo de um conjunto fechado ilimitado X e um conjunto limitado não-fechado Y, cujos pontos são todos isolados.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados (peguei estes dados diretamente do enunciado): X e Y são conjuntos disjuntos e não-vazios; X é compacto; Y é fechado.
  • O enunciado pede que se prove que existem x_{0}\in X e y_{0}\in Y tais que
\left|x_{0}-y_{0}\right| \leq |x-y|
para quaisquer x\in X e y\in Y. (Isto é, existe um par (x_0,y_0) que minimiza a distância entre os dois conjuntos.)
  • A segunda parte (item 5) pede duas coisas:
    • Provar que um conjunto compacto cujos pontos são todos isolados é finito.
    • Dar um exemplo de um conjunto X fechado e ilimitado cujos pontos são todos isolados, e um exemplo de um conjunto Y limitado e não-fechado cujos pontos são todos isolados.
A partir daqui começo a resolução.

Passo 2

Defino e explico uma ferramenta útil: a função distância de um ponto a Y.
  • Para cada x\in X defina
g(x)=\inf_{y\in Y}|x-y|.
Isto é, g(x) é a menor distância possível (o ínfimo) entre x e qualquer ponto de Y.
  • Comentário didático sobre o que é ínfimo: \inf significa o maior menor valor que é uma “cota inferior mais alta” das distâncias |x-y|. Mesmo que a mínima distância não seja alcançada por algum y em geral, sempre existe uma sequência de pontos y_n\in Y com |x-y_n| tendendo a g(x).
  • Objetivo: mostrar que g é contínua em X e, como X é compacto, g atinge seu mínimo em algum x_0\in X. Depois conseguir um y_0\in Y tal que |x_0-y_0|=g(x_0).

Passo 3

Mostro que g é Lipschitz (logo contínua), usando a desigualdade triangular.
  • Para quaisquer x,x'\in X e qualquer y\in Y vale a desigualdade triangular:
|x-y| \le |x-x'| + |x'-y|.
  • Tomando o infimum em y\in Y no lado direito, obtemos
g(x)=\inf_{y\in Y}|x-y| \le |x-x'| + \inf_{y\in Y}|x'-y| = |x-x'| + g(x').
  • Trocando x por x' e repetindo, obtemos simetricamente
g(x') \le |x-x'| + g(x).
  • Subtraindo as duas desigualdades chega-se a
|g(x)-g(x')| \le |x-x'|.
  • Conclusão didática: isto mostra que g é 1-Lipschitz, portanto contínua. Em palavras simples: a função que manda cada ponto x para a sua distância mínima até Y não varia mais rápido que a própria posição x; pequenas variações em x causam no máximo a mesma pequena variação em g(x).

Passo 4

Uso a compacidade de X para garantir existência de ponto que minimiza g.
  • Como g é contínua e X é compacto, o Teorema do Valor Extremo garante que g atinge seu mínimo em X. Logo existe x_0\in X tal que
g(x_0)=\min_{x\in X} g(x).
  • Em palavras: entre todos os pontos de X, há pelo menos um que está tão perto quanto possível do conjunto Y (considerando a distância mínima ao conjunto Y). Agora falta mostrar que essa distância mínima é realmente atingida por algum y_0\in Y, i.e., existe y_0 com |x_0-y_0|=g(x_0).

Passo 5

Mostro que existe y_0\in Y com |x_0-y_0|=g(x_0).
  • Por definição de ínfimo, existe uma sequência (y_n)_{n\ge 1} em Y tal que
|x_0-y_n| \longrightarrow g(x_0)\quad (n\to\infty).
Isto significa que as distâncias |x_0-y_n| aproximam cada vez mais o valor g(x_0).
  • Note que a sequência (y_n) é necessariamente limitada: por exemplo, todos os y_n ficam no intervalo (ou bola) centrado em x_0 e de raio R=|x_0-y_1|+1. Portanto (y_n) está em um conjunto fechado e limitado, logo é relativamente compacto.
  • Pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass (em \mathbb{R} ou \mathbb{R}^k), existe uma subsequência convergente y_{n_k}\to y_0 para algum y_0\in\mathbb{R}^k (ou \mathbb{R}, conforme o contexto do problema).
  • Como cada y_{n_k}\in Y e Y é fechado, o limite y_0 pertence a Y.
  • Tomando limite em |x_0-y_{n_k}|\to g(x_0) segue que
|x_0-y_0| = g(x_0).
  • Conclusão didática: conseguimos um y_0\in Y que realmente atinge a distância mínima de x_0 até Y.

Passo 6

Mostro que o par (x_0,y_0) minimiza a distância entre os conjuntos, i.e., satisfaz a desigualdade pedida para quaisquer x\in X, y\in Y.
  • Para qualquer x\in X e qualquer y\in Y vale, por definição de g,
g(x)\le |x-y|.
  • Como g(x_0) é o mínimo de g em X, temos g(x_0)\le g(x) para todo x\in X.
  • Combinando as duas desigualdades:
|x_0-y_0| = g(x_0) \le g(x) \le |x-y|.
  • Portanto, para quaisquer x\in X e y\in Y,
\left|x_{0}-y_{0}\right| \le |x-y|.
Isto é exatamente o que o enunciado pedia.

Passo 7

Primeira conclusão final — interpretação intuitiva e reforço.
  • Em palavras: a função distância g dá, para cada ponto x de X, a menor distância até Y. Como g é contínua e X é compacto, existe x_0 onde essa distância é mínima; usando fechamento de Y transformamos o ínfimo em mínimo real com um y_0. Assim (x_0,y_0) é um par que realmente minimiza a distância entre os dois conjuntos.
  • Psicologicamente: é o padrão clássico — compacidade permite extremalidade, fechamento garante que limites de aproximantes permaneçam no conjunto.

Passo 8

Agora respondo a parte 5: provarei que um conjunto compacto cujos pontos são todos isolados é finito.
  • Definição didática de ponto isolado: x é ponto isolado de um conjunto S se existe r>0 tal que
B(x,r)\cap S=\{x\},
ou seja, uma bola aberta centrada em x que não contém nenhum outro ponto de S.
  • Suponha, por contradição, que S é compacto e infinito e todos os seus pontos são isolados.
  • Para cada x\in S escolha r_x>0 tal que B(x,r_x)\cap S=\{x\}. Então a coleção \{B(x,r_x):x\in S\} é um coberto aberto de S.
  • Como cada bola B(x,r_x) contém apenas o único ponto x de S, nenhuma subcoleção finita dessas bolas pode cobrir S inteiro (uma subcoleção finita cobre apenas um número finito de pontos).
  • Isso contradiz a compacidade de S (que exige que todo coberto aberto tenha subcoberto finito). Logo S não pode ser infinito; portanto S é finito.
  • Conclusão didática: em espaços métricos, um compacto discreto (todos os pontos isolados) deve ser finito — compactos não “cabem” infinitos e isolados sem perder a propriedade do subcoberto finito.

Passo 9

Dou exemplos pedidos de conjuntos com todos os pontos isolados.
  • Exemplo de conjunto fechado e ilimitado com todos os pontos isolados:
    • Tome X=\mathbb{Z} (o conjunto dos inteiros). Justificativas:
      • Cada ponto n\in\mathbb{Z} é isolado porque B(n,1/2)\cap\mathbb{Z}=\{n\}.
      • \mathbb{Z} é fechado em \mathbb{R} porque contém todos os seus pontos de acumulação (na verdade não tem pontos de acumulação em \mathbb{R}), ou porque o complemento é aberto; portanto é fechado.
      • \mathbb{Z} é ilimitado (tanto para a direita quanto para a esquerda).
  • Exemplo de conjunto limitado e não-fechado com todos os pontos isolados:
    • Tome Y=\{1/n: n\in\mathbb{N}\}. Justificativas:
      • Cada ponto 1/n é isolado porque a distância para seus vizinhos é positiva (por exemplo, pode escolher raio menor que metade da distância para o vizinho mais próximo).
      • Y é limitado, pois 0<1/n\le 1 para todo n.
      • Y não é fechado porque 0 é um ponto-limite de Y (temos 1/n\to 0) e 0\notin Y.
  • Ambos os conjuntos satisfazem a condição de que todos os pontos são isolados, e respeitam respectivamente fechamento/ilimitabilidade e limitação/não-fechamento pedidas.

Resposta

Existem x_{0}\in X e y_{0}\in Y tais que, para quaisquer x\in X e y\in Y,
\left|x_{0}-y_{0}\right| \le |x-y|.
Um conjunto compacto cujos pontos são todos isolados é finito.
Exemplos: conjunto fechado ilimitado com pontos isolados X=\mathbb{Z}; conjunto limitado não-fechado com pontos isolados Y=\{1/n:n\in\mathbb{N}\}.

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