Sejam
conjuntos disjuntos e não-vazios, com
compacto e
fechado. Prove que existem
tais que
para quaisquer
.
5. Um conjunto compacto cujos pontos são todos isolados é finito. Dê exemplo de um conjunto fechado ilimitado
e um conjunto limitado não-fechado
, cujos pontos são todos isolados.
5. Um conjunto compacto cujos pontos são todos isolados é finito. Dê exemplo de um conjunto fechado ilimitado
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados (peguei estes dados diretamente do enunciado):
e são conjuntos disjuntos e não-vazios; é compacto; é fechado. - O enunciado pede que se prove que existem
e tais que
para quaisquer
e
. (Isto é, existe um par
que minimiza a distância entre os dois conjuntos.)
- A segunda parte (item 5) pede duas coisas:
- Provar que um conjunto compacto cujos pontos são todos isolados é finito.
- Dar um exemplo de um conjunto
fechado e ilimitado cujos pontos são todos isolados, e um exemplo de um conjunto limitado e não-fechado cujos pontos são todos isolados.
A partir daqui começo a resolução.
Passo 2
Defino e explico uma ferramenta útil: a função distância de um ponto a
.
- Para cada
defina
Isto é,
é a menor distância possível (o ínfimo) entre
e qualquer ponto de
.
- Comentário didático sobre o que é ínfimo:
significa o maior menor valor que é uma “cota inferior mais alta” das distâncias . Mesmo que a mínima distância não seja alcançada por algum em geral, sempre existe uma sequência de pontos com tendendo a . - Objetivo: mostrar que
é contínua em e, como é compacto, atinge seu mínimo em algum . Depois conseguir um tal que .
Passo 3
Mostro que
é Lipschitz (logo contínua), usando a desigualdade triangular.
- Para quaisquer
e qualquer vale a desigualdade triangular:
- Tomando o infimum em
no lado direito, obtemos
- Trocando
por e repetindo, obtemos simetricamente
- Subtraindo as duas desigualdades chega-se a
- Conclusão didática: isto mostra que
é 1-Lipschitz, portanto contínua. Em palavras simples: a função que manda cada ponto para a sua distância mínima até não varia mais rápido que a própria posição ; pequenas variações em causam no máximo a mesma pequena variação em .
Passo 4
Uso a compacidade de
para garantir existência de ponto que minimiza
.
- Como
é contínua e é compacto, o Teorema do Valor Extremo garante que atinge seu mínimo em . Logo existe tal que
- Em palavras: entre todos os pontos de
, há pelo menos um que está tão perto quanto possível do conjunto (considerando a distância mínima ao conjunto ). Agora falta mostrar que essa distância mínima é realmente atingida por algum , i.e., existe com .
Passo 5
Mostro que existe
com
.
- Por definição de ínfimo, existe uma sequência
em tal que
Isto significa que as distâncias
aproximam cada vez mais o valor
.
- Note que a sequência
é necessariamente limitada: por exemplo, todos os ficam no intervalo (ou bola) centrado em e de raio . Portanto está em um conjunto fechado e limitado, logo é relativamente compacto. - Pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass (em
ou ), existe uma subsequência convergente para algum (ou , conforme o contexto do problema). - Como cada
e é fechado, o limite pertence a . - Tomando limite em
segue que
- Conclusão didática: conseguimos um
que realmente atinge a distância mínima de até .
Passo 6
Mostro que o par
minimiza a distância entre os conjuntos, i.e., satisfaz a desigualdade pedida para quaisquer
.
- Para qualquer
e qualquer vale, por definição de ,
- Como
é o mínimo de em , temos para todo . - Combinando as duas desigualdades:
- Portanto, para quaisquer
e ,
Isto é exatamente o que o enunciado pedia.
Passo 7
Primeira conclusão final — interpretação intuitiva e reforço.
- Em palavras: a função distância
dá, para cada ponto de , a menor distância até . Como é contínua e é compacto, existe onde essa distância é mínima; usando fechamento de transformamos o ínfimo em mínimo real com um . Assim é um par que realmente minimiza a distância entre os dois conjuntos. - Psicologicamente: é o padrão clássico — compacidade permite extremalidade, fechamento garante que limites de aproximantes permaneçam no conjunto.
Passo 8
Agora respondo a parte 5: provarei que um conjunto compacto cujos pontos são todos isolados é finito.
- Definição didática de ponto isolado:
é ponto isolado de um conjunto se existe tal que
ou seja, uma bola aberta centrada em
que não contém nenhum outro ponto de
.
- Suponha, por contradição, que
é compacto e infinito e todos os seus pontos são isolados. - Para cada
escolha tal que . Então a coleção é um coberto aberto de . - Como cada bola
contém apenas o único ponto de , nenhuma subcoleção finita dessas bolas pode cobrir inteiro (uma subcoleção finita cobre apenas um número finito de pontos). - Isso contradiz a compacidade de
(que exige que todo coberto aberto tenha subcoberto finito). Logo não pode ser infinito; portanto é finito. - Conclusão didática: em espaços métricos, um compacto discreto (todos os pontos isolados) deve ser finito — compactos não “cabem” infinitos e isolados sem perder a propriedade do subcoberto finito.
Passo 9
Dou exemplos pedidos de conjuntos com todos os pontos isolados.
- Exemplo de conjunto fechado e ilimitado com todos os pontos isolados:
- Tome
(o conjunto dos inteiros). Justificativas: - Cada ponto
é isolado porque . -
é fechado em porque contém todos os seus pontos de acumulação (na verdade não tem pontos de acumulação em ), ou porque o complemento é aberto; portanto é fechado. -
é ilimitado (tanto para a direita quanto para a esquerda).
- Cada ponto
- Tome
- Exemplo de conjunto limitado e não-fechado com todos os pontos isolados:
- Tome
. Justificativas: - Cada ponto
é isolado porque a distância para seus vizinhos é positiva (por exemplo, pode escolher raio menor que metade da distância para o vizinho mais próximo). -
é limitado, pois para todo . -
não é fechado porque é um ponto-limite de (temos ) e .
- Cada ponto
- Tome
- Ambos os conjuntos satisfazem a condição de que todos os pontos são isolados, e respeitam respectivamente fechamento/ilimitabilidade e limitação/não-fechamento pedidas.
Resposta
Existem
e
tais que, para quaisquer
e
,
Um conjunto compacto cujos pontos são todos isolados é finito.
Exemplos: conjunto fechado ilimitado com pontos isolados ; conjunto limitado não-fechado com pontos isolados
.
Exemplos: conjunto fechado ilimitado com pontos isolados