De um baralho de pôquer ( 7,8,9,10, Valete, Dama, Rei e Ás, cada um desses grupos aparecendo em 4 naipes: Copas, Ouros, Paus, Espadas), sacam-se, simultaneamente, 5 cartas.
a) Quantas são as extrações possíveis?
Quantas são as extrações nas quais se forma:
b) um par (duas cartas em um mesmo grupo e as outras três em três outros grupos diferentes)?
c) dois pares (duas cartas em um grupo, duas em outro grupo e uma em um terceiro grupo)?
d) uma trinca (três cartas em um grupo e as outras duas em dois outros grupos diferentes)?
e) um"four" (quatro cartas em um grupo e uma em outro grupo)?
f) um “full hand” (três cartas em um grupo e duas em outro grupo)?
g) uma sequência ( 5 cartas de grupos consecutivos, não sendo todas do mesmo naipe)?
h) um"flush" ( 5 cartas do mesmo naipe, não sendo elas de 5 grupos consecutivos)?
i) um “straight flush”( 5 cartas de grupos consecutivos, todas do mesmo naipe)?
j) um “royal straight flush” (10, Valete, Dama, Rei e Ás de um mesmo naipe)?

Passo 1

Resumo do enunciado e do que é pedido:
Temos um baralho com os grupos (ranks) 7,8,9,10, Valete, Dama, Rei e Ás — ou seja, 8 ranks — e cada rank aparece em 4 naipes (Copas, Ouros, Paus, Espadas). Logo o baralho tem 8\times4=32 cartas. Sacam-se 5 cartas ao acaso, simultaneamente.
Perguntas (cada letra é uma pergunta separada):
a) Quantas extrações possíveis de 5 cartas existem?
b) Quantas extrações formam exatamente um par (duas cartas do mesmo rank e as outras três de ranks distintos entre si e distintos do par)?
c) Quantas extrações formam exatamente dois pares (duas cartas de um rank, duas de outro rank e a quinta de um terceiro rank)?
d) Quantas extrações formam exatamente uma trinca (três cartas de um rank e as outras duas de ranks distintos entre si e diferentes da trinca)?
e) Quantas extrações formam um “four” (quatro cartas do mesmo rank e uma carta de outro rank)?
f) Quantas extrações formam um “full hand” (uma trinca de um rank e um par de outro rank)?
g) Quantas extrações formam uma sequência (straight): 5 ranks consecutivos, mas não todas do mesmo naipe?
h) Quantas extrações formam um “flush”: 5 cartas do mesmo naipe que não sejam de 5 ranks consecutivos?
i) Quantas extrações formam um “straight flush”: 5 ranks consecutivos e todas do mesmo naipe?
j) Quantas extrações formam um “royal straight flush”: 10, Valete, Dama, Rei e Ás do mesmo naipe?

Passo 2

Ferramentas e conceitos que vamos usar (explicadinho):
  • Combinações: o número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto de n elementos sem ordem é dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n\times (n-1)\times\cdots\times1. Ex.: \binom{5}{2}=10.
  • Princípio multiplicativo: se algo pode ser feito de A maneiras e outra escolha independente de B maneiras, então as duas escolhas juntas se fazem de A\cdot B maneiras.
  • Potências para escolhas independentes por carta: se em m posições (ou cartas) cada posição tem s escolhas independentes, o total é s^m. Ex.: escolher o naipe de cada uma de 3 cartas é 4^3.
  • Importante: ao contar mãos específicas, devemos garantir que contamos cada mão uma única vez (evitar dupla contagem). Por isso, quando pedem “exatamente um par” ou “exatamente trinca” etc., vamos garantir que as outras cartas não formem pares/trincas indesejadas escolhendo ranks distintos quando necessário.
Agora com essas ferramentas, vamos resolver cada item passo a passo.

Passo 3

(a) Total de extrações possíveis de 5 cartas do baralho de 32 cartas:
Usamos combinação porque a ordem não importa:
\binom{32}{5}=\frac{32\cdot31\cdot30\cdot29\cdot28}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=201376.

Passo 4

(b) Contar mãos com exatamente um par.
Passos de contagem (explicando cada fator):
  • Escolher o rank que será o par: existem 8 escolhas.
  • Escolher as 2 cartas (os 2 naipes) desse rank: \binom{4}{2} maneiras.
  • As outras 3 cartas devem vir de 3 ranks distintos, diferentes do rank do par, para que não apareça outra repetição: escolher 3 ranks dentre os 7 restantes: \binom{7}{3}.
  • Para cada um desses 3 ranks escolhidos, escolher o naipe (cada um tem 4 possibilidades), então 4^3.
Combinação total:
8\cdot \binom{4}{2}\cdot \binom{7}{3}\cdot 4^3.
Agora numericamente: \binom{4}{2}=6,\\ \binom{7}{3}=35,\\\ 4^3=64. Então:
8\cdot 6\cdot 35\cdot 64 = 107520.

Passo 5

(c) Contar mãos com exatamente dois pares.
Passos:
  • Escolher os 2 ranks que serão pares: \binom{8}{2}.
  • Para cada um desses ranks escolher as 2 cartas entre as 4 disponíveis: \binom{4}{2} para o primeiro par e \binom{4}{2} para o segundo, ou seja \binom{4}{2}^2.
  • A quinta carta (kicker) deve ser de um rank diferente dos dois pares: escolher 1 rank entre os 6 restantes: \binom{6}{1}=6.
  • Escolher o naipe do kicker: 4 escolhas.
Total:
\binom{8}{2}\cdot \binom{4}{2}^2\cdot 6\cdot 4.
Numericamente: \binom{8}{2}=28,\\ \binom{4}{2}=6. Então
28\cdot 6^2\cdot 6\cdot 4 = 28\cdot 36\cdot 24 = 24192.

Passo 6

(d) Contar mãos com exatamente uma trinca (three of a kind), isto é, três cartas de um mesmo rank e as outras duas de ranks distintos entre si e distintos da trinca.
Passos:
  • Escolher o rank da trinca: 8 escolhas.
  • Escolher 3 dos 4 naipes desse rank: \binom{4}{3}.
  • Escolher 2 ranks distintos dentre os 7 restantes para as outras duas cartas: \binom{7}{2}.
  • Para cada um desses dois ranks escolher o naipe: 4^2.
Total:
8\cdot \binom{4}{3}\cdot \binom{7}{2}\cdot 4^2.
Numericamente: \binom{4}{3}=4,\\ \binom{7}{2}=21,\\\ 4^2=16. Então
8\cdot 4\cdot 21\cdot 16 = 10752.

Passo 7

(e) Contar mãos com um “four” (quatro cartas do mesmo rank mais uma carta de outro rank).
Passos:
  • Escolher o rank que aparece quatro vezes: 8 escolhas.
  • Há exatamente \binom{4}{4}=1 maneira de pegar as quatro cartas desse rank (todos os naipes).
  • Escolher a quinta carta: primeiro escolher o rank entre os 7 restantes: 7 escolhas; depois o naipe desse kicker: 4 escolhas.
Total:
8\cdot 1\cdot 7\cdot 4 = 224.

Passo 8

(f) Contar hands “full house” (trinca + par).
Passos:
  • Escolher o rank para a trinca: 8 escolhas.
  • Escolher 3 dos 4 naipes desse rank: \binom{4}{3}.
  • Escolher o rank para o par entre os 7 restantes: 7 escolhas.
  • Escolher 2 dos 4 naipes desse rank do par: \binom{4}{2}.
Total:
8\cdot \binom{4}{3}\cdot 7\cdot \binom{4}{2}.
Numericamente: \binom{4}{3}=4,\\ \binom{4}{2}=6. Então
8\cdot 4\cdot 7\cdot 6 = 1344.

Passo 9

(g) Contar sequências (straights): 5 ranks consecutivos, não sendo todas do mesmo naipe (ou seja, excluir straight flushes).
Primeiro vamos achar quantas sequências de ranks possíveis existem. Com 8 ranks disponíveis, o número de sequências de 5 consecutivos é
8-5+1=4.
As sequências são: 7,8,9,10,J; 8,9,10,J,Q; 9,10,J,Q,K; 10,J,Q,K,A.
Para cada sequência de ranks:
  • Para cada uma das 5 posições (ranks) escolhemos um naipe livremente entre 4 naipes, então 4^5 formas no total por sequência. Isso conta também os casos em que todas as 5 cartas têm o mesmo naipe (que são straight flushes) — precisamos excluir esses.
  • O número de straight flushes por sequência é exatamente 4 (uma por cada naipe), pois se fixamos a sequência de ranks, escolher um naipe único determina a mão.
Então o número de straights que NÃO são straight flushes é
4\cdot\bigl(4^5 - 4\bigr).
Calculemos: 4^5=1024. Logo
4\cdot(1024-4)=4\cdot 1020 = 4080.

Passo 10

(h) Contar “flush” (5 cartas do mesmo naipe que não sejam 5 ranks consecutivos).
Passos:
  • Para um dado naipe, o número de conjuntos de 5 ranks dentre os 8 disponíveis é \binom{8}{5}.
  • 4 naipes, então o total de 5-cartas do mesmo naipe é 4\cdot\binom{8}{5}.
  • Porém isso conta também as straight flushes (casos em que as 5 ranks são consecutivos dentro do mesmo naipe). Devemos subtrair os straight flushes.
Número de straight flushes (vamos usar no próximo passo) é 16 (ver passo seguinte). Então:
4\cdot\binom{8}{5} - 16.
Numericamente \binom{8}{5}=\binom{8}{3}=56. Então
4\cdot 56 - 16 = 224 - 16 = 208.

Passo 11

(i) Contar straight flushes (5 ranks consecutivos e todas do mesmo naipe).
Como em (g) temos 4 sequências de ranks possíveis e para cada sequência podemos escolher 4 naipes, o total é
4\cdot 4 =16.

Passo 12

(j) Contar royal straight flushes (a sequência 10,J,Q,K,A toda de um mesmo naipe).
A sequência 10,J,Q,K,A é uma das 4 sequências e, para ser royal straight flush, escolhemos um dos 4 naipes. Portanto:
4.

Resposta

(a) \binom{32}{5}=201376
(b) 8\cdot \binom{4}{2}\cdot \binom{7}{3}\cdot 4^3 = 107520
(c) \binom{8}{2}\cdot \binom{4}{2}^2\cdot 6\cdot 4 = 24192
(d) 8\cdot \binom{4}{3}\cdot \binom{7}{2}\cdot 4^2 = 10752
(e) 8\cdot 1\cdot 7\cdot 4 = 224
(f) 8\cdot \binom{4}{3}\cdot 7\cdot \binom{4}{2} = 1344
(g) 4\cdot(4^5-4)=4080
(h) 4\cdot\binom{8}{5}-16 = 208
(i) 4\cdot 4 = 16
(j) 4

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