Terceira Questão (
pts) : Calcule
, onde
é o campo vetorial dado por
e
é o segmento de reta que parte do ponto
e termina no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde o campo vetorial é
e
é o segmento de reta que vai do ponto
até o ponto
.
Informações dadas:
- Campo:
(componente em ) e (componente em ). - Curva
: segmento de reta de até . - O objetivo é calcular
.
Passo 2
Fórmula e ideia do método (passo-a-passo didático):
- Para um campo
e uma curva parametrizada por , com variando de a , a integral de linha é
- Aqui
e são as derivadas das coordenadas em relação a . Essa fórmula vem de e do produto escalar . - Então: (1) parametrizar o segmento de reta; (2) substituir
em e ; (3) calcular ; (4) montar e calcular a integral em .
Passo 3
Parametrização do segmento de reta de
a
:
- Um jeito simples é usar
variando de a e fazer uma interpolação afim:
porque em
temos
e em
temos
.
- Derivadas:
Passo 4
Substituir na expressão do campo:
- Primeiro calcule
:
Expandindo:
- Em seguida calcule
:
Passo 5
Montar o integrando usando
:
substituindo os valores:
Calcule termo a termo:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Portanto o integrando em função de
é
.
Passo 6
Calcular a integral em
de
a
:
Encontre a primitiva:
Avalie de
a
:
Simplificando: