Terceira Questão ( \mathbf{2 , 0} pts) : Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde \vec{F} é o campo vetorial dado por
\vec{F}(x, y)=x y \vec{\imath}+y^{2} \vec{\jmath}
e C é o segmento de reta que parte do ponto (3,2) e termina no ponto (5,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r},
onde o campo vetorial é
\vec{F}(x,y)=x y\,\vec{\imath}+y^{2}\,\vec{\jmath},
e C é o segmento de reta que vai do ponto (3,2) até o ponto (5,0).
Informações dadas:
  • Campo: P(x,y)=x y (componente em \vec{\imath}) e Q(x,y)=y^{2} (componente em \vec{\jmath}).
  • Curva C: segmento de reta de (3,2) até (5,0).
  • O objetivo é calcular \displaystyle\int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Fórmula e ideia do método (passo-a-passo didático):
  • Para um campo \vec{F}=P\,\vec{\imath}+Q\,\vec{\jmath} e uma curva parametrizada por \vec{r}(t)=(x(t),y(t)), com t variando de a a b, a integral de linha é
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\bigl(P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\bigr)\,dt.
  • Aqui x'(t) e y'(t) são as derivadas das coordenadas em relação a t. Essa fórmula vem de d\vec{r}=(dx,dy)=(x'(t)\,dt,y'(t)\,dt) e do produto escalar \vec{F}\cdot d\vec{r}=P\,dx+Q\,dy.
  • Então: (1) parametrizar o segmento de reta; (2) substituir x(t),y(t) em P e Q; (3) calcular x'(t),y'(t); (4) montar e calcular a integral em t.

Passo 3

Parametrização do segmento de reta de (3,2) a (5,0):
  • Um jeito simples é usar t variando de 0 a 1 e fazer uma interpolação afim:
x(t)=3+2t,\qquad y(t)=2-2t,\qquad 0\le t\le 1,
porque em t=0 temos (x,y)=(3,2) e em t=1 temos (x,y)=(5,0).
  • Derivadas:
x'(t)=2,\qquad y'(t)=-2.

Passo 4

Substituir na expressão do campo:
  • Primeiro calcule P(x(t),y(t)):
P(x(t),y(t))=x(t)\,y(t)=(3+2t)(2-2t).
Expandindo:
(3+2t)(2-2t)=6-6t+4t-4t^{2}=6-2t-4t^{2}.
  • Em seguida calcule Q(x(t),y(t)):
Q(x(t),y(t))=y(t)^{2}=(2-2t)^{2}=4-8t+4t^{2}.

Passo 5

Montar o integrando usando P\,x'+Q\,y':
P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)
substituindo os valores:
\bigl(6-2t-4t^{2}\bigr)\cdot 2 + \bigl(4-8t+4t^{2}\bigr)\cdot(-2).
Calcule termo a termo:
2(6-2t-4t^{2})-2(4-8t+4t^{2}).
Expandindo:
12-4t-8t^{2}-8+16t-8t^{2}.
Agrupando termos semelhantes:
(12-8) + (-4t+16t) + (-8t^{2}-8t^{2}) = 4 +12t -16t^{2}.
Portanto o integrando em função de t é \,4+12t-16t^{2}\,.

Passo 6

Calcular a integral em t de 0 a 1:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{1}\bigl(4+12t-16t^{2}\bigr)\,dt.
Encontre a primitiva:
\int\bigl(4+12t-16t^{2}\bigr)\,dt=4t+6t^{2}-\frac{16}{3}t^{3}+C.
Avalie de 0 a 1:
\left(4\cdot 1+6\cdot 1^{2}-\frac{16}{3}\cdot 1^{3}\right)-0 =4+6-\frac{16}{3}=10-\frac{16}{3}.
Simplificando:
10-\frac{16}{3}=\frac{30-16}{3}=\frac{14}{3}.

Resposta

\dfrac{14}{3}

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