Segunda Questão ( \mathbf{2 , 0} pts): Considere a curva C dada pela parametrização
\vec{r}(t)=\left\langle t^{2}, t, t\right\rangle, \quad 1 \leq t \leq 2
Calcule
\int_{C} \frac{x+z^{2}}{y} d s

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Curva parametrizada: \vec{r}(t)=\langle t^{2},\,t,\,t\rangle, com 1\le t\le 2.
  • A integral a calcular é
\int_{C} \frac{x+z^{2}}{y}\,d s.
O que o problema pede: avaliar a integral de linha de uma função escalar ao longo da curva C, ou seja, obter um número real que corresponde a \int_{C} \dfrac{x+z^{2}}{y}\,ds.

Passo 2

Explicação da fórmula que vou usar (mini-aula rápida e prática).
  • Para uma função escalar f(x,y,z) e uma curva parametrizada por \vec{r}(t), a\le t\le b, a integral da função em relação ao comprimento de arco é dada por
\int_{C} f(x,y,z)\,ds = \int_{a}^{b} f\big(\vec{r}(t)\big)\,\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|\,dt.
  • Aqui ds representa um pequeno comprimento de arco da curva. Quando parametrizamos por t, esse pequeno comprimento vale \|\vec{r}\,'(t)\|\,dt.
  • Em palavras: substituir x,y,z pelas componentes de \vec{r}(t), e multiplicar pelo comprimento da velocidade \|\vec{r}\,'(t)\|, então integrar em t de a a b.

Passo 3

Calcular a derivada vetorial \vec{r}\,'(t) e seu comprimento \big\|\vec{r}\,'(t)\big\|.
  • Diferenciando componente a componente:
\vec{r}\,'(t)=\big\langle \frac{d}{dt}(t^{2}),\,\frac{d}{dt}(t),\,\frac{d}{dt}(t)\big\rangle = \langle 2t,\,1,\,1\rangle.
  • O comprimento é
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|=\sqrt{(2t)^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{4t^{2}+1+1}=\sqrt{4t^{2}+2}.

Passo 4

Avaliar a função integranda ao longo da parametrização: f(x,y,z)=\dfrac{x+z^{2}}{y}.
  • Substituindo x=t^{2}, y=t, z=t (peguei esses valores da parametrização dada):
\frac{x+z^{2}}{y}=\frac{t^{2}+t^{2}}{t}=\frac{2t^{2}}{t}=2t,
válido porque em nosso intervalo t\in[1,2] temos t\neq 0.

Passo 5

Montar a integral em t usando a fórmula do Passo 2.
  • Substituindo f(\vec{r}(t))=2t e \|\vec{r}\,'(t)\|=\sqrt{4t^{2}+2}, obtemos
\int_{C}\frac{x+z^{2}}{y}\,ds=\int_{1}^{2} 2t\sqrt{4t^{2}+2}\,dt.

Passo 6

Resolver a integral por substituição (explicando cada passo).
  • Fazer a substituição \;u=4t^{2}+2. Então
du = 8t\,dt \quad\Rightarrow\quad 2t\,dt=\frac{du}{4}.
  • Trocar os limites: quando t=1, u=4\cdot1^{2}+2=6. Quando t=2, u=4\cdot2^{2}+2=18.
  • Portanto a integral fica
\int_{1}^{2} 2t\sqrt{4t^{2}+2}\,dt = \int_{u=6}^{18} \sqrt{u}\cdot\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int_{6}^{18} u^{1/2}\,du.

Passo 7

Calcular a integral em u e voltar aos números explícitos.
  • Integrando u^{1/2}:
\frac{1}{4}\int_{6}^{18} u^{1/2}\,du = \frac{1}{4}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{6}^{18} = \frac{1}{6}\big[u^{3/2}\big]_{6}^{18}.
  • Avaliando nos limites:
\frac{1}{6}\big(18^{3/2}-6^{3/2}\big).
  • Simplificando as potências:
18^{3/2}=(\sqrt{18})^{3}=(3\sqrt{2})^{3}=27\cdot2\sqrt{2}=54\sqrt{2},
6^{3/2}=6\sqrt{6}.
  • Logo
\frac{1}{6}\big(54\sqrt{2}-6\sqrt{6}\big)=9\sqrt{2}-\sqrt{6}.

Passo 8

Resumo final e incentivo: a integral fica exatamente 9\sqrt{2}-\sqrt{6}. Mandou bem pedindo passo a passo — essa técnica (substituir, simplificar integrando por arco) é exatamente a que cai em prova. Confia, repete esse tipo de exercício algumas vezes e fica mais tranquilo.

Resposta

9\sqrt{2}-\sqrt{6}

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