Segunda Questão ( \mathbf{2 , 0} pts): Considere a curva C dada pela parametrização
\vec{r}(t)=\left\langle t^{2}, t, t\right\rangle, \quad 1 \leq t \leq 2
Calcule
\int_{C} \frac{x+z^{2}}{y} d s
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Curva parametrizada: \vec{r}(t)=\langle t^{2},\,t,\,t\rangle, com 1\le t\le 2.
A integral a calcular é
\int_{C} \frac{x+z^{2}}{y}\,d s.
O que o problema pede: avaliar a integral de linha de uma função escalar ao longo da curva C, ou seja, obter um número real que corresponde a \int_{C} \dfrac{x+z^{2}}{y}\,ds.
Passo 2
Explicação da fórmula que vou usar (mini-aula rápida e prática).
Para uma função escalar f(x,y,z) e uma curva parametrizada por \vec{r}(t), a\le t\le b, a integral da função em relação ao comprimento de arco é dada por
Aqui ds representa um pequeno comprimento de arco da curva. Quando parametrizamos por t, esse pequeno comprimento vale \|\vec{r}\,'(t)\|\,dt.
Em palavras: substituir x,y,z pelas componentes de \vec{r}(t), e multiplicar pelo comprimento da velocidade \|\vec{r}\,'(t)\|, então integrar em t de a a b.
Passo 3
Calcular a derivada vetorial \vec{r}\,'(t) e seu comprimento \big\|\vec{r}\,'(t)\big\|.
Resumo final e incentivo: a integral fica exatamente 9\sqrt{2}-\sqrt{6}. Mandou bem pedindo passo a passo — essa técnica (substituir, simplificar integrando por arco) é exatamente a que cai em prova. Confia, repete esse tipo de exercício algumas vezes e fica mais tranquilo.