Terceira Questão(2,5 pontos): Resolva o PVI e determine o intervalo de definição da solução.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) resolver o problema de valor inicial (PVI) dado e (2) determinar o intervalo de definição da solução que satisfaz a condição inicial. As informações fornecidas são:
- Equação diferencial em forma diferencial:
- Condição inicial:
Anotações importantes extraídas do enunciado:
aparece dentro de
, portanto só estamos trabalhando com
. A solução deve passar por
.
Passo 2
Identificar o tipo de equação e a estratégia. Aqui temos uma equação na forma
com
Vou testar se a equação é exata. Uma equação é exata se existe uma função potencial
tal que
e
. Condição prática para exatidão (quando
e
são C^1) é:
Calculo as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe
com
e
.
Passo 3
Construir a função potencial
. Integro
em relação a
, tratando
como constante:
Faço a integral termo a termo. Como
é constante ao integrar em
,
Portanto, a integral geral fornece
onde
é uma função a determinar (constante de integração dependente de
).
Passo 4
Determinar
usando a condição
. Calculo
:
Devemos ter
. Igualando:
Integrando em
,
onde
é constante. Assim a função potencial completa é
A solução geral implícita da equação exata é
. Podemos agrupar a constante
do lado direito e escrever a solução implícita geral como
com
constante arbitrária.
Passo 5
Aplicar a condição inicial
para achar a constante
. Substituo
e
. Lembrando que
,
Logo
. A solução particular (implícita) que satisfaz o PVI é
Passo 6
Isolar
para obter a forma explícita e analisar o domínio. Reescrevo a solução implícita:
Se
então posso dividir e obter explicitamente
Para que esta expressão faça sentido em números reais é necessário:
-
(para estar definido), -
(para não dividir por zero), ou seja .
A condição inicial está em
(que satisfaz
e
), portanto a solução existe e é única em algum intervalo em torno de
. O maior intervalo aberto em
com
que contém
e onde a solução explícita é válida sem singularidade é
Não se pode incluir
(ln indefinido) nem
(denominador zero). Também não é possível estender a solução através de
porque aí ocorre singularidade vertical.
Resposta
Intervalo de definição (máximo, contendo
):