Terceira Questão(2,5 pontos): Resolva o PVI e determine o intervalo de definição da solução.
\left(\frac{y}{x}+6 x\right) d x+(\ln x-2) d y=0, \quad y(1)=-2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) resolver o problema de valor inicial (PVI) dado e (2) determinar o intervalo de definição da solução que satisfaz a condição inicial. As informações fornecidas são:
  • Equação diferencial em forma diferencial:
\left(\frac{y}{x}+6 x\right) d x+(\ln x-2) d y=0.
  • Condição inicial:
y(1)=-2.
Anotações importantes extraídas do enunciado: x aparece dentro de \ln x, portanto só estamos trabalhando com x>0. A solução deve passar por x=1.

Passo 2

Identificar o tipo de equação e a estratégia. Aqui temos uma equação na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,
com
M(x,y)=\frac{y}{x}+6x,\qquad N(x,y)=\ln x-2.
Vou testar se a equação é exata. Uma equação é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x=M e \partial\Phi/\partial y=N. Condição prática para exatidão (quando M e N são C^1) é:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{1}{x}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{1}{x}.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata. Isso significa que existe \Phi(x,y) com \Phi_x=M e \Phi_y=N.

Passo 3

Construir a função potencial \Phi(x,y). Integro M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int\left(\frac{y}{x}+6x\right)\,dx.
Faço a integral termo a termo. Como y é constante ao integrar em x,
\int\frac{y}{x}\,dx=y\int\frac{1}{x}\,dx=y\ln x, \qquad \int 6x\,dx=3x^{2}.
Portanto, a integral geral fornece
\Phi(x,y)=y\ln x+3x^{2}+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar (constante de integração dependente de y).

Passo 4

Determinar h(y) usando a condição \Phi_y=N. Calculo \Phi_y:
\Phi_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(y\ln x+3x^{2}+h(y)\big)=\ln x+h'(y).
Devemos ter \Phi_y=N=\ln x-2. Igualando:
\ln x+h'(y)=\ln x-2 \quad\Rightarrow\quad h'(y)=-2.
Integrando em y,
h(y)=-2y+C,
onde C é constante. Assim a função potencial completa é
\Phi(x,y)=y\ln x+3x^{2}-2y+C.
A solução geral implícita da equação exata é \Phi(x,y)=\text{const}. Podemos agrupar a constante C do lado direito e escrever a solução implícita geral como
y\ln x+3x^{2}-2y=C_1,
com C_1 constante arbitrária.

Passo 5

Aplicar a condição inicial y(1)=-2 para achar a constante C_1. Substituo x=1 e y=-2. Lembrando que \ln 1=0,
(-2)\cdot\ln 1 + 3\cdot 1^{2} -2\cdot(-2)=0+3+4=7.
Logo C_1=7. A solução particular (implícita) que satisfaz o PVI é
y\ln x+3x^{2}-2y=7.

Passo 6

Isolar y para obter a forma explícita e analisar o domínio. Reescrevo a solução implícita:
y(\ln x -2)=7-3x^{2}.
Se \ln x -2\neq 0 então posso dividir e obter explicitamente
y=\frac{7-3x^{2}}{\ln x -2}.
Para que esta expressão faça sentido em números reais é necessário:
  • x>0 (para \ln x estar definido),
  • \ln x-2\neq 0 (para não dividir por zero), ou seja x\neq e^{2}.
A condição inicial está em x=1 (que satisfaz x>0 e 1\neq e^{2}), portanto a solução existe e é única em algum intervalo em torno de x=1. O maior intervalo aberto em \mathbb{R} com x>0 que contém x=1 e onde a solução explícita é válida sem singularidade é
(0,e^{2}).
Não se pode incluir x=0 (ln indefinido) nem x=e^{2} (denominador zero). Também não é possível estender a solução através de x=e^{2} porque aí ocorre singularidade vertical.

Resposta

y=\frac{7-3x^{2}}{\ln x-2}
Intervalo de definição (máximo, contendo x=1): (0,e^{2})

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