Segunda Questão(
pontos): Considere a EDO
(a) Determine as soluções de equilíbrio assintoticamente estáveis, caso haja.
(b) Suponha que
é uma solução satisfazendo
Determine
(não é necessário resolver a EDO).
(b) Suponha que
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária autônoma
e pede duas coisas:
- (a) Determinar as soluções de equilíbrio assintoticamente estáveis, se houver.
- (b) Sabendo que uma solução satisfaz
e , determinar (sem resolver a EDO).
Informações dadas e perguntas explicitadas:
- A EDO é autônoma: a derivada
depende só de . - Precisamos encontrar equilíbrios (valores constantes de
) e decidir estabilidade assintótica. - Para a solução com condição inicial
é dada a existência do limite quando ; devemos identificar qual é esse limite.
Passo 2
Encontrar as soluções de equilíbrio (constantes).
Definição: uma solução constante é solução da EDO se e somente se
para esse valor, isto é, se
onde
.
Definição: uma solução constante
Resolver
:
Logo os equilíbrios são
Estes são as três soluções constantes da EDO.
Passo 3
Analisar a estabilidade qualitativamente pelo sinal de
nos intervalos entre os equilíbrios (linha de fase). Isso mostra para cada intervalo se as soluções crescem (
) ou decrescem (
).
Avaliação do sinal de
em cada intervalo:
- Para
: cada fator é negativo, então o produto tem sinal negativo. Assim (decresce). - Para
: temos → produto positivo → (cresce). - Para
: temos → produto negativo → (decresce). - Para
: todos os fatores positivos → produto positivo → (cresce).
Interpretação para estabilidade:
- Em
: à esquerda de a solução decresce (vai para menores valores), à direita (entre e ) cresce — em ambos os lados as trajetórias afastam-se de . Logo é instável (repulsor). - Em
: à esquerda (entre e ) (movimento para a direita, em direção a ) e à direita (entre e ) (movimento para a esquerda, em direção a ). Assim as trajetórias vêm de ambos os lados em direção a . Logo é assintoticamente estável (atrator). - Em
: à esquerda (entre e ) (afasta-se de para menor), à direita (afasta-se para maior). Logo é instável.
Resumo por inspeção da linha de fase: apenas
é assintoticamente estável.
Passo 4
Verificação alternativa pelo critério de linearização (para dar mais intuição). Seja
. A linearização em torno de um equilíbrio
usa
:
- Se
então é assintoticamente estável (pequenas perturbações decaem exponencialmente). - Se
então é instável.
Calculemos. Derivando o produto:
Avaliar nos equilíbrios:
Isto confirma:
é assintoticamente estável;
e
são instáveis.
Passo 5
Determinar
para a solução com
e
.
Argumento:
- Primeiro, observe que
está no intervalo . Para qualquer desse intervalo temos (veja Passo 3), logo a solução que começa em é decrescente enquanto permanecer no intervalo . - Portanto
é monotona decrescente para . Além disso, como o fator torna em , a solução não pode decrescer indefinidamente abaixo de sem, por continuidade, atingir em algum instante; sendo mais direto: a solução é limitada inferiormente por . Assim é decrescente e limitada abaixo por , daí um limite quando (se não fosse já dado). - Como o enunciado afirma que o limite existe, esse limite
deve satisfazer (porque é contínua e, se , então ; se o limite existe finito, a derivada tende a , logo ). Assim . - Finalmente, pelo fato de a solução começar em
e permanecer decrescente e limitada inferiormente por , o único equilíbrio compatível com esses fatos é . Nem nem podem ser o limite: fica acima de (impossível para uma solução decrescente começar em e tender a ), e está fora do intervalo alcançável sem passar por (e passando por a solução ficaria em depois). Assim
Resposta
(a) A única solução de equilíbrio assintoticamente estável é
.
(b) .
(b)