Segunda Questão( \mathbf{2 , 0} pontos): Considere a EDO
y^{\prime}=(y-1)(y-3)(y-5)
(a) Determine as soluções de equilíbrio assintoticamente estáveis, caso haja.
(b) Suponha que y é uma solução satisfazendo
y(0)=4, \quad \lim _{x \rightarrow \infty} y(x)=L
Determine L (não é necessário resolver a EDO).

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária autônoma
y'=(y-1)(y-3)(y-5)
e pede duas coisas:
  • (a) Determinar as soluções de equilíbrio assintoticamente estáveis, se houver.
  • (b) Sabendo que uma solução satisfaz \,y(0)=4 e \displaystyle\lim_{x\to\infty} y(x)=L, determinar L (sem resolver a EDO).
Informações dadas e perguntas explicitadas:
  • A EDO é autônoma: a derivada y' depende só de y.
  • Precisamos encontrar equilíbrios (valores constantes de y) e decidir estabilidade assintótica.
  • Para a solução com condição inicial y(0)=4 é dada a existência do limite quando x\to\infty; devemos identificar qual é esse limite.

Passo 2

Encontrar as soluções de equilíbrio (constantes).
Definição: uma solução constante y(x)\equiv y_* é solução da EDO se e somente se y'=0 para esse valor, isto é, se f(y_*)=0 onde f(y)=(y-1)(y-3)(y-5).
Resolver f(y)=0:
(y-1)(y-3)(y-5)=0
Logo os equilíbrios são
y=1,\qquad y=3,\qquad y=5.
Estes são as três soluções constantes da EDO.

Passo 3

Analisar a estabilidade qualitativamente pelo sinal de y' nos intervalos entre os equilíbrios (linha de fase). Isso mostra para cada intervalo se as soluções crescem ( y'>0) ou decrescem ( y'<0).
Avaliação do sinal de f(y)=(y-1)(y-3)(y-5) em cada intervalo:
  • Para y<1: cada fator (y-1),(y-3),(y-5) é negativo, então o produto tem sinal negativo. Assim y'<0 (decresce).
  • Para 1<y<3: temos (y-1)>0,\\ (y-3)<0,\\ (y-5)<0 → produto positivo → y'>0 (cresce).
  • Para 3<y<5: temos (y-1)>0,\\ (y-3)>0,\\ (y-5)<0 → produto negativo → y'<0 (decresce).
  • Para y>5: todos os fatores positivos → produto positivo → y'>0 (cresce).
Interpretação para estabilidade:
  • Em y=1: à esquerda de 1 a solução decresce (vai para menores valores), à direita (entre 1 e 3) cresce — em ambos os lados as trajetórias afastam-se de 1. Logo y=1 é instável (repulsor).
  • Em y=3: à esquerda (entre 1 e 3) y'>0 (movimento para a direita, em direção a 3) e à direita (entre 3 e 5) y'<0 (movimento para a esquerda, em direção a 3). Assim as trajetórias vêm de ambos os lados em direção a 3. Logo y=3 é assintoticamente estável (atrator).
  • Em y=5: à esquerda (entre 3 e 5) y'<0 (afasta-se de 5 para menor), à direita y'>0 (afasta-se para maior). Logo y=5 é instável.
Resumo por inspeção da linha de fase: apenas y=3 é assintoticamente estável.

Passo 4

Verificação alternativa pelo critério de linearização (para dar mais intuição). Seja f(y)=(y-1)(y-3)(y-5). A linearização em torno de um equilíbrio y_* usa f'(y_*):
  • Se f'(y_*)<0 então y_* é assintoticamente estável (pequenas perturbações decaem exponencialmente).
  • Se f'(y_*)>0 então y_* é instável.
    Calculemos f'(y). Derivando o produto:
f'(y)=(y-3)(y-5)+(y-1)(y-5)+(y-1)(y-3).
Avaliar nos equilíbrios:
f'(1)=8>0,\qquad f'(3)=-4<0,\qquad f'(5)=8>0.
Isto confirma: y=3 é assintoticamente estável; y=1 e y=5 são instáveis.

Passo 5

Determinar L para a solução com y(0)=4 e \lim_{x\to\infty} y(x)=L.
Argumento:
  • Primeiro, observe que 4 está no intervalo 3<y<5. Para qualquer y desse intervalo temos y'<0 (veja Passo 3), logo a solução que começa em y(0)=4 é decrescente enquanto permanecer no intervalo (3,5).
  • Portanto y(x) é monotona decrescente para x\ge 0. Além disso, como o fator (y-3) torna y'=0 em y=3, a solução não pode decrescer indefinidamente abaixo de 3 sem, por continuidade, atingir 3 em algum instante; sendo mais direto: a solução é limitada inferiormente por 3. Assim y(x) é decrescente e limitada abaixo por 3, daí um limite quando x\to\infty (se não fosse já dado).
  • Como o enunciado afirma que o limite existe, esse limite L deve satisfazer f(L)=0 (porque f é contínua e, se y(x)\to L, então y'(x)=f(y(x))\to f(L); se o limite existe finito, a derivada tende a 0, logo f(L)=0). Assim L\in\{1,3,5\}.
  • Finalmente, pelo fato de a solução começar em 4 e permanecer decrescente e limitada inferiormente por 3, o único equilíbrio compatível com esses fatos é y=3. Nem 1 nem 5 podem ser o limite: 5 fica acima de 4 (impossível para uma solução decrescente começar em 4 e tender a 5), e 1 está fora do intervalo alcançável sem passar por 3 (e passando por 3 a solução ficaria em 3 depois). Assim
L=3.

Resposta

(a) A única solução de equilíbrio assintoticamente estável é y=3.
(b) L=3.

Exercícios relacionados