Primeira Questão(
pontos): Encontre a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária
Informações/dados que temos:
- A incógnita é a função
. - A equação relaciona
com e . - Não há condições iniciais fornecidas, portanto pede-se a solução geral com uma constante arbitrária.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Vou desenvolver o lado direito e reorganizar:
Passando o termo com
para o lado esquerdo:
Aqui reconhece-se a forma padrão
onde
e
.
Passo 3
Explicar e construir o fator integrante. Para uma equação linear de primeira ordem a técnica padrão é multiplicar por um fator integrante
definido por
Calcular
com
:
Como constantes multiplicativas no fator integrante podem ser omitidas, escolhe-se
Propriedade útil: multiplicando a equação por
faz com que o lado esquerdo vire a derivada do produto
, pois
já que
.
Passo 4
Multiplicar a equação por
:
Simplificar o lado direito usando
:
Pelo raciocínio do passo anterior, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é
. A integral do lado direito é
, onde
é a constante arbitrária de integração. Logo:
Passo 6
Isolar
para obter a solução geral:
onde
é uma constante real arbitrária. Esta é a família de soluções gerais da equação dada.
Passo 7
Checagem rápida (para ganhar confiança): derivando
usando a regra do produto e a regra da cadeia:
que rearranjado dá
confirmando que a solução encontrada satisfaz a equação original.