Primeira Questão( \mathbf{2 , 5} pontos): Encontre a solução geral de
y^{\prime}=2 x\left(e^{-x^{2}}-y\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária
y^{\prime}=2 x\left(e^{-x^{2}}-y\right).
Informações/dados que temos:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação relaciona y^{\prime} com x e y.
  • Não há condições iniciais fornecidas, portanto pede-se a solução geral com uma constante arbitrária.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Vou desenvolver o lado direito e reorganizar:
y^{\prime}=2x e^{-x^{2}}-2x y.
Passando o termo com y para o lado esquerdo:
y^{\prime}+2x\,y=2x e^{-x^{2}}.
Aqui reconhece-se a forma padrão
y^{\prime}+p(x)\,y=q(x),
onde p(x)=2x e q(x)=2x e^{-x^{2}}.

Passo 3

Explicar e construir o fator integrante. Para uma equação linear de primeira ordem a técnica padrão é multiplicar por um fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
Calcular \mu(x) com p(x)=2x:
\int p(x)\,dx=\int 2x\,dx=x^{2}+C.
Como constantes multiplicativas no fator integrante podem ser omitidas, escolhe-se
\mu(x)=e^{x^{2}}.
Propriedade útil: multiplicando a equação por \mu(x) faz com que o lado esquerdo vire a derivada do produto \mu(x)y, pois
(\mu y)^{\prime}=\mu y^{\prime}+\mu^{\prime}y=\mu\big(y^{\prime}+p(x)y\big),
já que \mu^{\prime}=\mu p(x).

Passo 4

Multiplicar a equação por \mu(x)=e^{x^{2}}:
e^{x^{2}}y^{\prime}+2x e^{x^{2}}y = 2x e^{x^{2}}e^{-x^{2}}.
Simplificar o lado direito usando e^{x^{2}}e^{-x^{2}}=1:
e^{x^{2}}y^{\prime}+2x e^{x^{2}}y = 2x.
Pelo raciocínio do passo anterior, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
\big(e^{x^{2}}y\big)^{\prime}=2x.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \big(e^{x^{2}}y\big)^{\prime}\,dx=\int 2x\,dx.
A integral do lado esquerdo é e^{x^{2}}y. A integral do lado direito é x^{2}+C, onde C é a constante arbitrária de integração. Logo:
e^{x^{2}}y=x^{2}+C.

Passo 6

Isolar y para obter a solução geral:
y=e^{-x^{2}}\big(x^{2}+C\big),
onde C é uma constante real arbitrária. Esta é a família de soluções gerais da equação dada.

Passo 7

Checagem rápida (para ganhar confiança): derivando y=e^{-x^{2}}(x^{2}+C) usando a regra do produto e a regra da cadeia:
y^{\prime}=2x e^{-x^{2}}+(x^{2}+C)(-2x)e^{-x^{2}}=2x e^{-x^{2}}-2x\,y,
que rearranjado dá
y^{\prime}=2x\big(e^{-x^{2}}-y\big),
confirmando que a solução encontrada satisfaz a equação original.

Resposta

y=e^{-x^{2}}\big(x^{2}+C\big), com C\in\mathbb{R}.

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