Terceira Questão ( 2,5 pts): Encontre a solução geral:
4 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+y=\frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^{2}}, \quad x>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
4y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+y=\frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^{2}},\quad x>0,
e pede a solução geral y(x) válida para x>0.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Coeficientes constantes na parte homogênea:4,,-4,,1.
  • Termo não homogêneo (lado direito): \dfrac{e{\frac{x}{2}}}{x{2}}.
  • Domínio:x>0 (importante por causa de \ln x que pode aparecer).
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Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
4y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+y=0.
Para isso usamos a equação característica. Substituímos y=e^{rx} e obtemos
4r^{2}-4r+1=0.
Agora resolvemos essa quadrática. A fórmula do discriminante é \Delta=b^{2}-4ac. Aqui a=4, b=-4, c=1, então
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot 4\cdot 1 = 16-16=0.
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla:
r=\frac{4}{2\cdot 4}=\frac{1}{2}.
Quando a raiz r é dupla, as soluções fundamentais da homogênea são
y_{1}(x)=e^{\frac{x}{2}},\qquad y_{2}(x)=x e^{\frac{x}{2}}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{\frac{x}{2}},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} da equação completa. O termo do lado direito \dfrac{e^{\frac{x}{2}}}{x^{2}} não é do tipo que se aplica bem pelo método dos coeficientes a determinar (não é polinomial, exponencial simples ou trigonométrica isolada), então usamos o método de variação de parâmetros (também chamado de variação das constantes). Antes de aplicar a fórmula, colocamos a equação na forma normalizada dividindo por 4:
y^{\prime\prime}-y^{\prime}+\frac{1}{4}y=\frac{1}{4}\cdot\frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^{2}}.
Denotamos
g(x)=\frac{1}{4}\cdot\frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^{2}}.

Passo 4

No método de variação de parâmetros usamos as soluções fundamentais y_{1} e y_{2} da homogênea. Relembrando:
y_{1}(x)=e^{\frac{x}{2}},\qquad y_{2}(x)=x e^{\frac{x}{2}}.
Calculamos o wronskiano W(x)=\begin{vmatrix}y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}^{\prime} & y_{2}^{\prime}\end{vmatrix}.
Calculemos derivadas:
y_{1}^{\prime}(x)=\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}, \qquad y_{2}^{\prime}(x)=e^{\frac{x}{2}}+\frac{x}{2}e^{\frac{x}{2}}=e^{\frac{x}{2}}\left(1+\frac{x}{2}\right).
Agora o wronskiano:
W(x)=y_{1}y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime}y_{2} = e^{\frac{x}{2}}\cdot e^{\frac{x}{2}}\left(1+\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}\cdot x e^{\frac{x}{2}}.
Fatorando e^{x} (pois e^{\frac{x}{2}}\cdot e^{\frac{x}{2}}=e^{x}), temos
W(x)=e^{x}\left(1+\frac{x}{2}-\frac{x}{2}\right)=e^{x}.
Portanto W(x)=e^{x}, que é diferente de zero para todo x, então podemos aplicar variação de parâmetros com segurança.

Passo 5

As fórmulas de variação de parâmetros (para a equação normalizada y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)) dão:
u_{1}^{\prime}(x)=-\frac{g(x)\,y_{2}(x)}{W(x)},\qquad u_{2}^{\prime}(x)=\frac{g(x)\,y_{1}(x)}{W(x)},
onde a solução particular será y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}.
Aqui g(x)=\dfrac{1}{4}\dfrac{e^{\frac{x}{2}}}{x^{2}}, y_{1}=e^{\frac{x}{2}}, y_{2}=x e^{\frac{x}{2}} e W=e^{x}. Substituímos:
Calculemos u_{1}^{\prime}:
u_{1}^{\prime}(x)=-\frac{1}{4}\frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^{2}}\cdot\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{e^{x}}.
Simplificando: e^{\frac{x}{2}}\cdot e^{\frac{x}{2}}=e^{x}, que cancela com o e^{x} do denominador, e um fator x cancela parcialmente com x^{2}. Logo
u_{1}^{\prime}(x)=-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x}.
Calculemos u_{2}^{\prime}:
u_{2}^{\prime}(x)=\frac{1}{4}\frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^{2}}\cdot\frac{e^{\frac{x}{2}}}{e^{x}}.
Novamente e^{\frac{x}{2}}\cdot e^{\frac{x}{2}}=e^{x} e cancela com e^{x} do denominador, restando
u_{2}^{\prime}(x)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^{2}}.

Passo 6

Integramos para obter u_{1} e u_{2}. As integrais são simples:
Para u_{1}:
u_{1}(x)=\int u_{1}^{\prime}(x)\,dx=\int\left(-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x}\right)dx=-\frac{1}{4}\ln x + C_{1}^{*}.
Para obter uma solução particular, podemos escolher as constantes de integração C_{1}^{*},C_{2}^{*} iguais a zero (elas seriam absorvidas na solução homogênea). Assim tomamos
u_{1}(x)=-\frac{1}{4}\ln x.
Para u_{2}:
u_{2}(x)=\int u_{2}^{\prime}(x)\,dx=\int\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^{2}}\right)dx =\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{x}\right)+C_{2}^{*}.
Tomando C_{2}^{*}=0 para a solução particular, temos
u_{2}(x)=-\frac{1}{4x}.

Passo 7

Agora construímos a solução particular y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}:
y_{p}(x)=\left(-\frac{1}{4}\ln x\right)e^{\frac{x}{2}}+\left(-\frac{1}{4x}\right)\big(x e^{\frac{x}{2}}\big).
Simplificando o segundo termo (o x do numerador cancela com o x do denominador):
y_{p}(x)=-\frac{1}{4}e^{\frac{x}{2}}\ln x -\frac{1}{4}e^{\frac{x}{2}}.
Fatorando e^{\frac{x}{2}} :
y_{p}(x)=-\frac{1}{4}e^{\frac{x}{2}}\big(\ln x +1\big).

Passo 8

A solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x) =\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{\frac{x}{2}}-\frac{1}{4}e^{\frac{x}{2}}\big(\ln x +1\big).
Podemos fatorar e^{\frac{x}{2}} para ficar mais compacto:
y(x)=e^{\frac{x}{2}}\left(C_{1}+C_{2}x-\frac{1}{4}\big(\ln x +1\big)\right),
válido para x>0. Boa! Você sobreviveu ao drama do termo 1/x^{2} — variação de parâmetros resolve esse tipo de caso sem mistério.

Resposta

y(x)=e^{\frac{x}{2}}\left(C_{1}+C_{2}x-\frac{1}{4}\big(\ln x +1\big)\right),\quad x>0

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