Segunda Questão (2,5pts): Encontre a solução geral:
\left(\frac{y}{y-1}+e^{2 x}\right) d x-\left(\frac{x}{(y-1)^{2}}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre a solução geral” da equação diferencial
\left(\frac{y}{y-1}+e^{2 x}\right) d x-\left(\frac{x}{(y-1)^{2}}\right) d y=0.
Informações relevantes dadas:
M(x,y)=\frac{y}{y-1}+e^{2x}\quad\text{é o coeficiente de }d x,é
N(x,y)=-\frac{x}{(y-1)^2}\quad\text{é o coeficiente de }d y.é
A tarefa é achar a solução geral y(x) (ou uma solução implícita) que satisfaça essa equação diferencial. Neste passo só identifiquei o que é pedido e listei os dados; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Escolha do método: aqui é natural testar se a equação é exata. Uma equação diferencial do tipo
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
O teste prático de exatidão é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Vou calcular essas derivadas parciais explicitamente.

Passo 3

Calcule \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}. Primeiro note que
M(x,y)=\frac{y}{y-1}+e^{2x}.
A derivada de e^{2x} em relação a y é 0 (pois não depende de y). Para \displaystyle \frac{y}{y-1} use a regra do quociente: se f(y)=\dfrac{y}{y-1} então
f'(y)=\frac{(y-1)\cdot 1 - y\cdot 1}{(y-1)^2}=\frac{y-1-y}{(y-1)^2}=\frac{-1}{(y-1)^2}.
Logo
\frac{\partial M}{\partial y}=-\frac{1}{(y-1)^2}.

Passo 4

Calcule \displaystyle \frac{\partial N}{\partial x}. Temos
N(x,y)=-\frac{x}{(y-1)^2}.
Aqui (y-1)^2 é visto como constante quando derivamos em relação a x. Então
\frac{\partial N}{\partial x}=-\frac{1}{(y-1)^2}.
Comparando com o resultado do passo anterior,
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=-\frac{1}{(y-1)^2},
portanto a equação é exata em qualquer região onde y\neq 1. Isso nos autoriza a procurar uma função potencial \Phi(x,y).

Passo 5

Definição da função potencial e integração parcial: como a equação é exata, existe \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)=\frac{y}{y-1}+e^{2x}.
Para encontrar \Phi integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int\left(\frac{y}{y-1}+e^{2x}\right)dx.
A integral é feita em duas partes. Como y é constante na integração em x,
\int \frac{y}{y-1}\,dx=\frac{y}{y-1}\,x.
E
\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}.
Somando e adicionando uma função arbitrária de y (pois a integração em x pode perder termos que dependem só de y), obtemos
\Phi(x,y)=\frac{x y}{y-1}+\frac{1}{2}e^{2x}+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 6

Determine h(y) impondo \displaystyle \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y). Calculemos a derivada de \Phi em relação a y:
a parte \dfrac{1}{2}e^{2x} não depende de y, então sua derivada é zero. Para \dfrac{x y}{y-1} usamos a derivada do quociente em y (com x como constante multiplicativa). Já calculamos antes que
\frac{d}{dy}\left(\frac{y}{y-1}\right)=-\frac{1}{(y-1)^2}.
Multiplicando por x (que é constante aqui) obtemos
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x y}{y-1}\right)=x\left(-\frac{1}{(y-1)^2}\right)=-\frac{x}{(y-1)^2}.
Adicionando h'(y), temos
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=-\frac{x}{(y-1)^2}+h'(y).
Isso deve ser igual a N(x,y)=-\dfrac{x}{(y-1)^2}. Igualando,
-\frac{x}{(y-1)^2}+h'(y)=-\frac{x}{(y-1)^2}.
Daí segue diretamente que
h'(y)=0,
ou seja h(y)=C, uma constante.

Passo 7

Escreva a solução geral usando a função potencial encontrada. Como h(y)=C, a função potencial é
\Phi(x,y)=\frac{x y}{y-1}+\frac{1}{2}e^{2x}+C.
A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por \Phi(x,y)=\text{constante}. Podemos absorver C e escrever a solução implícita da forma
\frac{x y}{y-1}+\frac{1}{2}e^{2x}=K,
onde K é constante arbitrária. Pronto — essa é a solução geral (implícita). Força aí, você já tem a forma que o professor costuma aceitar em prova!

Resposta

\frac{x y}{y-1}+\frac{1}{2}e^{2x}=C

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