Segunda Questão (2,5pts): Encontre a solução geral:
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre a solução geral” da equação diferencial
Informações relevantes dadas:
A tarefa é achar a solução geral
(ou uma solução implícita) que satisfaça essa equação diferencial. Neste passo só identifiquei o que é pedido e listei os dados; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Escolha do método: aqui é natural testar se a equação é exata. Uma equação diferencial do tipo
é exata se existe uma função potencial
tal que
O teste prático de exatidão é verificar se
Vou calcular essas derivadas parciais explicitamente.
Passo 3
Calcule
. Primeiro note que
A derivada de
em relação a
é
(pois não depende de
). Para
use a regra do quociente: se
então
Logo
Passo 4
Calcule
. Temos
Aqui
é visto como constante quando derivamos em relação a
. Então
Comparando com o resultado do passo anterior,
portanto a equação é exata em qualquer região onde
. Isso nos autoriza a procurar uma função potencial
.
Passo 5
Definição da função potencial e integração parcial: como a equação é exata, existe
tal que
Para encontrar
integramos
em relação a
, tratando
como constante:
A integral é feita em duas partes. Como
é constante na integração em
,
E
Somando e adicionando uma função arbitrária de
(pois a integração em
pode perder termos que dependem só de
), obtemos
onde
é uma função a determinar.
Passo 6
Determine
impondo
. Calculemos a derivada de
em relação a
:
a parte não depende de
, então sua derivada é zero. Para
usamos a derivada do quociente em
(com
como constante multiplicativa). Já calculamos antes que
a parte
Multiplicando por
(que é constante aqui) obtemos
Adicionando
, temos
Isso deve ser igual a
. Igualando,
Daí segue diretamente que
ou seja
, uma constante.
Passo 7
Escreva a solução geral usando a função potencial encontrada. Como
, a função potencial é
A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por
. Podemos absorver
e escrever a solução implícita da forma
onde
é constante arbitrária. Pronto — essa é a solução geral (implícita). Força aí, você já tem a forma que o professor costuma aceitar em prova!