Primeira Questão ( \mathbf{2 , 5} \mathbf{p t s} ): Considere a EDO
y^{\prime}=\frac{y}{x}+1, \quad x>0
(a) (1,5 pt) Encontre a solução geral.
(b) (1,0 \mathbf{~ p t}) Encontre a solução que satisfaz y(1)=3.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'=\frac{y}{x}+1,\quad x>0
e pede duas coisas:
(a) (1,5 pt) encontrar a solução geral;
(b) (1,0 pt) encontrar a solução que satisfaz y(1)=3.
Informações relevantes fornecidas: a equação diferencial acima e o domínio x>0. Para (b) temos a condição inicial y(1)=3.

Passo 2

Reescrevemos a equação de forma a deixar o termo com y somando ao lado esquerdo, isto facilita a aplicação de um método padrão:
y'-\frac{1}{x}y=1.
Aqui podemos identificar a função que multiplica y (ou seja, p(x)) como -\dfrac{1}{x} e o lado direito q(x) como 1.

Passo 3

Vamos usar o método do fator integrante. A ideia: para uma equação na forma y'+p(x)y=q(x) escolhemos um fator integrante
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right),
porque ao multiplicar a equação por \mu(x) o lado esquerdo vira a derivada do produto \mu(x)y. No nosso caso p(x)=-\dfrac{1}{x}, então
\int p(x)\,dx=\int -\frac{1}{x}\,dx=-\ln x,
e, como x>0,
\mu(x)=\exp(-\ln x)=x^{-1}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x^{-1}. Isso dá
x^{-1}y' - x^{-2}y = x^{-1}.
Agora reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto x^{-1}y. De fato, usando a regra do produto,
\frac{d}{dx}\big(x^{-1}y\big)=x^{-1}y' + (x^{-1})'y = x^{-1}y' - x^{-2}y,
portanto podemos escrever
\frac{d}{dx}\big(x^{-1}y\big)=x^{-1}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(x^{-1}y\big)\,dx = \int x^{-1}\,dx.
A integral do lado esquerdo elimina a derivada, e a do lado direito é o logaritmo, obtendo-se
x^{-1}y=\ln x + C,
onde C é a constante de integração (real arbitrária).

Passo 6

Isolamos y multiplicando por x:
y = x(\ln x + C) = x\ln x + Cx.
Essa é a solução geral da equação diferencial (com C constante arbitrária).

Passo 7

Agora fazemos (b): impomos a condição inicial y(1)=3. Substituímos x=1 em y=x\ln x + Cx:
y(1)=1\cdot\ln 1 + C\cdot 1 = 0 + C = C.
Como y(1)=3, conclui-se C=3.

Passo 8

Substituindo C=3 na solução geral obtemos a solução particular procurada:
y = x\ln x + 3x.
Podemos checar rapidamente: derivando y obtemos y'=\ln x + 1 + 3 = \ln x + 4. E calculando \dfrac{y}{x}+1 temos \dfrac{x\ln x + 3x}{x}+1=\ln x + 3 + 1=\ln x + 4, que coincide com y', logo está correto.

Resposta

(a) y = x\ln x + Cx.
(b) y = x\ln x + 3x.

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