Primeira Questão (
): Considere a EDO
(a) (1,5 pt) Encontre a solução geral.
(b)
Encontre a solução que satisfaz
.
(b)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas:
(a) (1,5 pt) encontrar a solução geral;
(b) (1,0 pt) encontrar a solução que satisfaz .
(a) (1,5 pt) encontrar a solução geral;
(b) (1,0 pt) encontrar a solução que satisfaz
Informações relevantes fornecidas: a equação diferencial acima e o domínio
. Para (b) temos a condição inicial
.
Passo 2
Reescrevemos a equação de forma a deixar o termo com
somando ao lado esquerdo, isto facilita a aplicação de um método padrão:
Aqui podemos identificar a função que multiplica
(ou seja,
) como
e o lado direito
como
.
Passo 3
Vamos usar o método do fator integrante. A ideia: para uma equação na forma
escolhemos um fator integrante
porque ao multiplicar a equação por
o lado esquerdo vira a derivada do produto
. No nosso caso
, então
e, como
,
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Isso dá
Agora reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto
. De fato, usando a regra do produto,
portanto podemos escrever
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo elimina a derivada, e a do lado direito é o logaritmo, obtendo-se
onde
é a constante de integração (real arbitrária).
Passo 6
Isolamos
multiplicando por
:
Essa é a solução geral da equação diferencial (com
constante arbitrária).
Passo 7
Agora fazemos (b): impomos a condição inicial
. Substituímos
em
:
Como
, conclui-se
.
Passo 8
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular procurada:
Podemos checar rapidamente: derivando
obtemos
. E calculando
temos
, que coincide com
, logo está correto.
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)