O termo geral de uma sucessão é \boldsymbol{a}_{\boldsymbol{n}} \boldsymbol{=} \boldsymbol{n}^{\mathbf{2}}+\mathbf{2} \boldsymbol{n}. Obter os termos a_{2} e a_{7}. Mostrar que 48 é um de seus termos e identificar a posição.

Passo 1

O enunciado dá o termo geral da sucessão e pede alguns cálculos. Informações e pedidos:
  • Termo geral: a_{n}=n^{2}+2n.
  • Pedidos:
    1. Obter a_{2}.
    2. Obter a_{7}.
    3. Mostrar que 48 é um termo da sucessão e identificar em que posição (ou seja, encontrar n tal que a_{n}=48).

Passo 2

Calcular a_{2} por substituição direta do índice n=2 na fórmula do termo geral. Substituir significa trocar n por 2 em a_{n}=n^{2}+2n.
a_{2}=2^{2}+2\cdot 2
Agora calcular os termos:
2^{2}=4,\qquad 2\cdot 2=4
Somando:
a_{2}=4+4=8.
Portanto a_{2}=8.

Passo 3

Calcular a_{7} do mesmo modo, substituindo n=7.
a_{7}=7^{2}+2\cdot 7
Calcular os termos:
7^{2}=49,\qquad 2\cdot 7=14
Somando:
a_{7}=49+14=63.
Portanto a_{7}=63.

Passo 4

Mostrar que 48 é termo da sucessão significa resolver a equação para n:
a_{n}=48\quad\Longrightarrow\quad n^{2}+2n=48.
Passar tudo para um lado para obter uma equação quadrática na forma padrão:
n^{2}+2n-48=0.
Aqui os coeficientes são a=1, b=2, c=-48. Para resolver uma quadrática usamos a fórmula de Bhaskara:
n=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad \Delta=b^{2}-4ac.
Calcular o discriminante \Delta:
\Delta=2^{2}-4\cdot 1\cdot(-48)=4+192=196.
A raiz quadrada de \Delta é
\sqrt{\Delta}=\sqrt{196}=14.
Aplicando Bhaskara:
n=\frac{-2\pm 14}{2\cdot 1}=\frac{-2\pm 14}{2}.
Isso dá duas soluções:
n_{1}=\frac{-2+14}{2}=\frac{12}{2}=6, \qquad n_{2}=\frac{-2-14}{2}=\frac{-16}{2}=-8.
Como índices de uma sucessão normalmente são números naturais positivos ( n=1,2,3,\dots), descartamos n=-8. Logo a solução válida é n=6.

Passo 5

Verificação direta: calcular a_{6} para conferir que é realmente 48:
a_{6}=6^{2}+2\cdot 6=36+12=48.
Confere. Portanto 48 é um termo da sucessão e aparece na posição n=6.

Resposta

a_{2}=8
a_{7}=63
48 é o termo a_{6}

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