Descubra uma lógica de formação em cada sucessão, e ache seus dois próximos termos.
(0,3,8,15,24, \ldots)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência de números
(0,3,8,15,24,\ldots)
e pede que eu descubra a lógica de formação e encontre os dois próximos termos.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os termos conhecidos, em ordem, são (0,3,8,15,24).
  • A tarefa é identificar a regra que gera a sequência e calcular os dois termos seguintes.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcule as diferenças entre termos consecutivos para tentar ver um padrão simples. Faço as subtrações:
3-0=3,
8-3=5,
15-8=7,
24-15=9.
Logo as diferenças sucessivas são 3,5,7,9.

Passo 3

Interpretação do que apareceu: as diferenças formam a sequência dos números ímpares começando em 3: 3,5,7,9,\ldots. Isso sugere que, a cada passo, somamos o próximo ímpar. Assim a regra recursiva é
a_{n+1}=a_n + d_n,
onde d_n é o n-ésimo ímpar da sequência 3,5,7,\ldots. Observando que o n-ésimo termo dessa sequência de ímpares é 2n+1 (para n=1 3, para n=2 5, etc.), podemos escrever a recursão explícita, tomando a_1=0:
a_{n+1}=a_n + (2n+1).

Passo 4

Agora passo para uma forma fechada (uma fórmula explícita) que é mais prática para calcular qualquer termo. Somando a recursão a partir de a_1:
a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1).
Como a_1=0, fica
a_n = \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1).
Calculo a soma: \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 2\cdot\frac{(n-1)n}{2}=(n-1)n e \sum_{k=1}^{n-1} 1 = n-1. Então
a_n = (n-1)n + (n-1) = (n-1)(n+1) = n^2-1.
Portanto a forma fechada é \displaystyle a_n = n^2-1 (com n=1,2,3,\dots), que confirma os termos dados:
a_1=1^2-1=0,\quad a_2=2^2-1=3,\quad a_3=3^2-1=8,\\ \text{etc.}

Passo 5

Com a fórmula \displaystyle a_n=n^2-1, calculo os próximos termos. Os termos dados vão até a_5=24. Então:
a_6 = 6^2-1 = 36-1 = 35,
a_7 = 7^2-1 = 49-1 = 48.

Passo 6

Verificação rápida pela regra das diferenças: após 24 a próxima diferença esperada é 11 (seguindo os ímpares 3,5,7,9,11,\ldots), então 24+11=35. Em seguida a diferença 13 35+13=48. Confere com a forma fechada.

Resposta

35,\\\ 48

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