Dê o termo de ordem n das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem (n+1).
a_{n}=n^{2}\left(1-\cos \frac{a}{n}\right), para a>0 ;

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n} = n^{2}\bigl(1 - \cos\bigl(\tfrac{a}{n}\bigr)\bigr),
com parâmetro a>0. Precisamos identificar o termo geral, obter o termo de ordem n+1, estudar a convergência e, em caso afirmativo, calcular o limite. Para isso, vamos usar a expansão em série de Taylor de \cos x para x\approx0.

Passo 2

O termo de ordem n+1 é obtido trocando n por n+1 em a_{n}. Logo,
a_{n+1} = (n+1)^{2}\bigl(1 - \cos\bigl(\tfrac{a}{\,n+1\,}\bigr)\bigr).

Passo 3

Para estudar \lim_{n\to\infty}a_{n}, usamos a expansão de Taylor
\cos x = 1 - \tfrac{x^{2}}{2} + O(x^{4}) \quad\text{quando }x\to0.
Aqui x = \tfrac{a}{n}, então
1 - \cos\bigl(\tfrac{a}{n}\bigr) = \tfrac{1}{2}\,\bigl(\tfrac{a}{n}\bigr)^{2} + O\bigl(\tfrac{1}{n^{4}}\bigr) = \tfrac{a^{2}}{2\,n^{2}} + O\bigl(\tfrac{1}{n^{4}}\bigr).
Multiplicando por n^{2}, obtemos
a_{n} = n^{2}\bigl(1 - \cos(\tfrac{a}{n})\bigr) = \tfrac{a^{2}}{2} + O\bigl(\tfrac{1}{n^{2}}\bigr).

Passo 4

Da expressão acima vemos que
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \tfrac{a^{2}}{2}.
Portanto, a sequência \bigl(a_{n}\bigr) converge e seu limite é \tfrac{a^{2}}{2}.

Resposta

O termo geral é
a_{n} = n^{2}\bigl(1 - \cos\bigl(\tfrac{a}{n}\bigr)\bigr),
o termo de ordem n+1 é
a_{n+1} = (n+1)^{2}\bigl(1 - \cos\bigl(\tfrac{a}{\,n+1\,}\bigr)\bigr),
a sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \tfrac{a^{2}}{2}.

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