Dê o termo de ordem n das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem (n+1).
a_{n}=\frac{1}{n} \operatorname{sen}\left(\frac{3 \pi}{n^{2}+1}\right);

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência cujo termo geral é
a_{n} = \frac{1}{n}\,\sin\!\biggl(\frac{3\pi}{n^{2}+1}\biggr).
Precisamos também escrever o termo de ordem n+1, decidir se \{a_{n}\} converge e, em caso afirmativo, determinar seu limite. Para estudar a convergência, usaremos o fato de que, para x pequeno, \sin(x) comporta-se como x e, em geral, vale a desigualdade |\sin(x)|\le |x|.

Passo 2

O termo de ordem n+1 é obtido trocando n por n+1 em a_{n}. Logo,
a_{n+1} = \frac{1}{n+1}\,\sin\!\Bigl(\frac{3\pi}{(n+1)^{2}+1}\Bigr).

Passo 3

Para ver se \{a_{n}\} converge, estimamos o valor absoluto de a_{n}:
\bigl|a_{n}\bigr| = \frac{1}{n}\,\Bigl|\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{n^{2}+1}\bigr)\Bigr| \le \frac{1}{n}\,\frac{3\pi}{n^{2}+1}.
Como n^{2}+1>n^{2}, temos
0 \le \frac{1}{n}\,\frac{3\pi}{n^{2}+1} < \frac{1}{n}\,\frac{3\pi}{n^{2}} = \frac{3\pi}{n^{3}}.
E sabemos que \lim_{n\to\infty}\tfrac{3\pi}{n^{3}}=0. Pelo Teorema do Confronto,
\lim_{n\to\infty}a_{n} = 0.
Portanto, \{a_{n}\} converge e seu limite é 0.

Resposta

a) Termo de ordem n:
a_{n} = \frac{1}{n}\,\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{n^{2}+1}\bigr).
b) Termo de ordem n+1:
a_{n+1} = \frac{1}{n+1}\,\sin\!\Bigl(\frac{3\pi}{(n+1)^{2}+1}\Bigr).
c) A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n} = 0.

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