Considere a série sumn=1^+infty 1-n2^n+1 para resolver os itens abaixo.
(d) Calcule lim n infty Sn.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos a série e precisamos calcular o limite da soma parcial quando tende ao infinito, ou seja, . Isso envolve conceitos de séries infinitas e seu comportamento à medida que somamos mais termos.

Passo 2

Vamos começar separando a série em duas partes para facilitar a resolução:
sumn=1^+infty 1-n2^n+1 = sumn=1^+infty 12^n+1 - sumn=1^+infty n2^n+1
Agora, temos duas séries que vamos calcular separadamente.

Passo 3

Primeiro, vamos resolver . Essa é uma série geométrica onde cada termo é dividido por 2 mais uma vez a cada passo. Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é quando .

Passo 4

Aplicando a fórmula da série geométrica:
sumn=1^+infty 12^n+1 = 12 sumn=1^+infty (12)^n = 12 ( 121 - 12 ) = 12 times 1 = 12

Passo 5

Agora, vamos resolver sumn=1^+infty n r^n = r(1 - r)^2 . Para isso, usamos a fórmula da soma de uma série onde cada termo é multiplicado por :
Neste caso, .

Passo 6

Aplicando a fórmula:
sumn=1^+infty n2^n+1 = 12 sumn=1^+infty n (12)^n = 12 ( 12(1 - 12)^2 ) = 12 times 2 = 1

Passo 7

Agora, voltamos à nossa expressão original:
sumn=1^+infty 1-n2^n+1 = 12 - 1 = -12
Portanto, o limite da soma parcial quando tende ao infinito é .

Resposta

limn infty Sn = -12

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