Um transdutor de deslocamento do tipo LVDT ( 1^0 ordem ) é utilizado para medir um sinal de deslocamento xi(t)=2 sen(3 t)+0.4 sen(25 t). Pede-se:
a-) Assumindo que a cte de tempo do instrumento é tau=6 seg, verificar se o instrumento pode ser utilizado para medir este sinal sem distorção (idealmente q0 / K=qi )?

Passo 1

Beleza, aqui o que tá rolando: a gente tem um transdutor LVDT modelado como um sistema de 1ª ordem (ou seja, um “filtro” que tem constante de tempo τ). O sinal de entrada é
xi(t)=2sin(3t)+0.4sin(25t),
E a constante de tempo do LVDT é τ=6 s.
O que precisamos fazer: verificar se o LVDT consegue medir esse sinal “sem distorção”, ou seja, se a relação de ganho em regime permanente para cada frequência é praticamente 1 ( q0/K=qi).
Conteúdo que vamos usar:
  • Modelo de sistema de 1ª ordem (função de transferência).
  • Resposta em frequência (módulo de H(jomega)).
    - Definição de distorção: ganho ≈1 para as frequências de interesse.

Passo 2

Primeiro, a teoria rápida do 1ª ordem: a função de transferência é
H(s)=Y(s)X(s)=1tau s+1,
Quando aplicamos um sinal senoidal de frequência omega, o ganho (módulo) do sistema é
|H(jomega)|=1raiz1+(omegatau)^2,
Para não distorcer, a gente precisa que |H(jomega)|approx1 nas frequências do nosso sinal. Se |H|ll1, o sistema corta/amortiza a amplitude e aí distorce.

Passo 3

  1. Calcular frequência de corte (rad/s): omegac=1tau=16approx0.167 rad/s,
  2. As componentes do sinal têm omega1=3 rad/s e omega2=25 rad/s. Ambas são MUITO maiores que omegac, ou seja, estão longe da banda onde |H|approx1.
    3) Vamos ver os valores:
    - Para omega1=3: |H(j3)|=1raiz1+(3cdot6)^2=1raiz1+324=1raiz325approx0.0555,
    • Para omega2=25: |H(j25)|=1raiz1+(25cdot6)^2=1raiz1+22500=1150.003approx0.0067,
      Isso mostra que, em 3 rad/s, o LVDT já reduz a amplitude a ~5.5% do valor original; em 25 rad/s, cai pra ~0.7%.

Resposta

Não dá pra usar esse instrumento com τ=6 s para medir sem distorção o sinal 2sin(3t)+0.4sin(25t), porque ambas as frequências estão muito acima da frequência de corte (~0.167 rad/s) e sofreriam forte atenuação (ganhos muito menores que 1).

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