2.4- Um termômetro foi incorretamente graduado em graus Celsius. Ele assinala 1^{\circ} \mathrm{C} para o gelo em fusão e 97^{\circ} \mathrm{C} para a água em ebulição, sob pressão normal.
Calcule o valor da única temperatura, em graus Celsius, que esse termômetro assinala corretamente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O termômetro, incorretamente graduado, assinala 1^\circ\mathrm{C} quando a água em fusão (gelo) está a 0^\circ\mathrm{C} (temperatura verdadeira).
  • O mesmo termômetro assinala 97^\circ\mathrm{C} quando a água em ebulição está a 100^\circ\mathrm{C} (temperatura verdadeira), sob pressão normal.
  • Pergunta: qual é a única temperatura (em graus Celsius) que esse termômetro assinala corretamente? Ou seja, achar a temperatura verdadeira t em que o mostrador dá o mesmo valor t.

Passo 2

Explicação do modelo que vamos usar (passo a passo e bem didático).
  • Um termômetro de escala linear relaciona o valor indicado R (o que o termômetro mostra) com a temperatura verdadeira t por uma relação linear do tipo
R = a\,t + b,
onde a é o fator de escala (quanto o mostrador muda quando a temperatura verdadeira muda de uma unidade) e b é o deslocamento (o que o instrumento marca quando t=0). Explico: se a=1 e b=0 o termômetro seria perfeito; aqui esperamos a\neq1 ou b\neq0 porque está mal calibrado.

Passo 3

Usar as duas calibrações dadas para obter duas equações para a e b.
  • Para o ponto gelo em fusão: temperatura verdadeira t=0 corresponde a leitura R=1. Substituindo em R = a t + b obtemos
1 = a\cdot 0 + b \quad\Rightarrow\quad b = 1.
  • Para o ponto ebulição: t=100 corresponde a R=97. Substituindo:
97 = a\cdot 100 + b.
Agora substituímos b=1 nessa equação.

Passo 4

Resolver para a.
  • Substituindo b=1 em 97 = 100a + b
97 = 100a + 1.
  • Isolando a:
100a = 97 - 1 = 96,
a = \frac{96}{100} = 0{,}96.

Passo 5

Escrever a relação completa entre leitura e temperatura verdadeira e achar a temperatura onde o termômetro acerta (ou seja, R=t).
  • A função completa é
R = 0{,}96\,t + 1.
  • Queremos o t tal que R=t. Então estabelecemos
t = 0{,}96\,t + 1.
  • Isolando t:
t - 0{,}96\,t = 1,
0{,}04\,t = 1,
t = \frac{1}{0{,}04} = 25.

Passo 6

Verificação rápida e interpretação final (para ganhar confiança).
  • Verificando na fórmula: se t=25,
R = 0{,}96\cdot 25 + 1 = 24 + 1 = 25,
logo o termômetro realmente marca corretamente 25^\circ\mathrm{C}.
  • Interpretação: como a escala do termômetro foi comprimida (de 100 verdadeiros ele marca só 96 unidades entre 0 e 100) e deslocada por +1, existe exatamente um ponto onde a leitura coincide com a temperatura verdadeira — e é 25^\circ\mathrm{C}.

Resposta

25^\circ\mathrm{C}

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