2.4- Um termômetro foi incorretamente graduado em graus Celsius. Ele assinala
para o gelo em fusão e
para a água em ebulição, sob pressão normal.
Calcule o valor da única temperatura, em graus Celsius, que esse termômetro assinala corretamente.
Calcule o valor da única temperatura, em graus Celsius, que esse termômetro assinala corretamente.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- O termômetro, incorretamente graduado, assinala
quando a água em fusão (gelo) está a (temperatura verdadeira). - O mesmo termômetro assinala
quando a água em ebulição está a (temperatura verdadeira), sob pressão normal. - Pergunta: qual é a única temperatura (em graus Celsius) que esse termômetro assinala corretamente? Ou seja, achar a temperatura verdadeira
em que o mostrador dá o mesmo valor .
Passo 2
Explicação do modelo que vamos usar (passo a passo e bem didático).
- Um termômetro de escala linear relaciona o valor indicado
(o que o termômetro mostra) com a temperatura verdadeira por uma relação linear do tipo
onde
é o fator de escala (quanto o mostrador muda quando a temperatura verdadeira muda de uma unidade) e
é o deslocamento (o que o instrumento marca quando
). Explico: se
e
o termômetro seria perfeito; aqui esperamos
ou
porque está mal calibrado.
Passo 3
Usar as duas calibrações dadas para obter duas equações para
e
.
- Para o ponto gelo em fusão: temperatura verdadeira
corresponde a leitura . Substituindo em obtemos
- Para o ponto ebulição:
corresponde a . Substituindo:
Agora substituímos
nessa equação.
Passo 4
Resolver para
.
- Substituindo
em dá
- Isolando
:
Passo 5
Escrever a relação completa entre leitura e temperatura verdadeira e achar a temperatura onde o termômetro acerta (ou seja,
).
- A função completa é
- Queremos o
tal que . Então estabelecemos
- Isolando
:
Passo 6
Verificação rápida e interpretação final (para ganhar confiança).
- Verificando na fórmula: se
,
logo o termômetro realmente marca corretamente
.
- Interpretação: como a escala do termômetro foi comprimida (de 100 verdadeiros ele marca só 96 unidades entre 0 e 100) e deslocada por
, existe exatamente um ponto onde a leitura coincide com a temperatura verdadeira — e é .