( 1,25 pontos) Um átomo pode emitir radiação em qualquer momento após ter sido excitado. Sabe-se que em um caso típico o átomo excitado tem uma vida média de aproximadamente
. Isto é, durante este período ele emite um fóton e retorna ao seu estado inicial (não-excitado).
a) Qual é a incerteza mínima
na frequência do fóton?
b) A maioria dos fótons emitidos por átomos de sódio estão em duas linhas espectrais em aproximadamente
. Qual a largura relativa de cada linha?
c) Calcule a incerteza
na energia do estado excitado do átomo.
d) A partir dos resultados anteriores, determine, com uma precisão
, a energia
do estado excitado de um átomo de sódio, relativa ao estado de menor energia, que emite um fóton cujo comprimento de onda está centrado em
.
a) Qual é a incerteza mínima
b) A maioria dos fótons emitidos por átomos de sódio estão em duas linhas espectrais em aproximadamente
c) Calcule a incerteza
d) A partir dos resultados anteriores, determine, com uma precisão
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a vida média (tempo de vida) do estado excitado é
. - Dado: comprimento de onda central das linhas do sódio
(ou seja ).
O enunciado pede quatro coisas:
(a) a incerteza mínimana frequência do fóton;
(b) a largura relativa de cada linha espectral (isto éou equivalente);
(c) a incertezana energia do estado excitado;
(d) o valor da energiado estado excitado relativo ao estado fundamental, com a precisão , para fóton centrado em .
Passo 2
Princípio da incerteza tempo–energia e relação entre energia e frequência.
- A relação entre energia de um fóton e sua frequência é
, onde é a constante de Planck ( ). Isso implica que uma incerteza em energia corresponde a uma incerteza em frequência por
- O princípio da incerteza tempo–energia (na sua forma mínima) pode ser escrito como
onde
. Tomando a igualdade para obter a incerteza mínima, temos
Substituindo
obtemos a expressão para a incerteza mínima em frequência:
Explicando em palavras: usamos a forma mínima do princípio da incerteza para obter a menor largura de frequência compatível com a vida finita
.
Passo 3
Cálculo numérico de
.
Usando ,
Usando
Calculemos:
Então a incerteza mínima na frequência é aproximadamente
.
Passo 4
Largura relativa da linha: relação entre
e
.
- A frequência e o comprimento de onda são relacionados por
, onde é a velocidade da luz. Diferenciando essa relação obtemos
Dividindo por
obtemos a relação para as larguras relativas (módulos):
Ou seja, a largura relativa em comprimento de onda é numericamente igual à largura relativa em frequência. Para calcular numericamente precisamos da frequência central:
Usando
e
,
Agora a largura relativa é
Passo 5
Cálculo da incerteza
na energia do estado excitado.
Usando (consistente com a derivação anterior):
Usando
Calculando:
Convertendo para elétron-volt (
):
Observação didática: a mesma
pode ser obtida diretamente pela forma
; numericamente esse procedimento dá o mesmo valor mostrado acima.
Passo 6
Energia central
do fóton (energia do estado excitado relativa ao estado fundamental) e a precisão.
A energia do fóton centrada em é
A energia do fóton centrada em
Usando
,
e
,
Convertendo para eV,
A precisão é
com
calculada no Passo 5. Portanto a energia do estado excitado, com a incerteza, é aproximadamente
ou em eV
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)