( 1,25 pontos) Um átomo pode emitir radiação em qualquer momento após ter sido excitado. Sabe-se que em um caso típico o átomo excitado tem uma vida média de aproximadamente 10^{-8} s. Isto é, durante este período ele emite um fóton e retorna ao seu estado inicial (não-excitado).
a) Qual é a incerteza mínima \Delta \nu na frequência do fóton?
b) A maioria dos fótons emitidos por átomos de sódio estão em duas linhas espectrais em aproximadamente \lambda=5.890^{\circ} A. Qual a largura relativa de cada linha?
c) Calcule a incerteza \Delta E na energia do estado excitado do átomo.
d) A partir dos resultados anteriores, determine, com uma precisão \Delta E, a energia E do estado excitado de um átomo de sódio, relativa ao estado de menor energia, que emite um fóton cujo comprimento de onda está centrado em 5.890 \AA.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a vida média (tempo de vida) do estado excitado é \Delta t=10^{-8}\\ \text{s}.
  • Dado: comprimento de onda central das linhas do sódio \lambda=5{,}890\\ \text{\AA} (ou seja \lambda=5{,}890\times10^{-10}\\ \text{m}).
    O enunciado pede quatro coisas:
    (a) a incerteza mínima \Delta \nu na frequência do fóton;
    (b) a largura relativa de cada linha espectral (isto é \Delta \lambda/\lambda ou equivalente);
    (c) a incerteza \Delta E na energia do estado excitado;
    (d) o valor da energia E do estado excitado relativo ao estado fundamental, com a precisão \Delta E, para fóton centrado em \lambda=5{,}890\\ \text{\AA}.

Passo 2

Princípio da incerteza tempo–energia e relação entre energia e frequência.
  • A relação entre energia de um fóton e sua frequência é E=h\nu, onde h é a constante de Planck ( h\approx6{,}626\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s}). Isso implica que uma incerteza em energia \Delta E corresponde a uma incerteza em frequência \Delta \nu por
\Delta E = h\,\Delta \nu.
  • O princípio da incerteza tempo–energia (na sua forma mínima) pode ser escrito como
\Delta E\,\Delta t \gtrsim \frac{\hbar}{2},
onde \hbar=\dfrac{h}{2\pi}. Tomando a igualdade para obter a incerteza mínima, temos
\Delta E_{\min} = \frac{\hbar}{2\,\Delta t}.
Substituindo \Delta E = h\,\Delta \nu obtemos a expressão para a incerteza mínima em frequência:
h\,\Delta \nu_{\min} = \frac{\hbar}{2\,\Delta t} \quad\Rightarrow\quad \Delta \nu_{\min} = \frac{\hbar}{2h\,\Delta t} = \frac{1}{4\pi\,\Delta t}.
Explicando em palavras: usamos a forma mínima do princípio da incerteza para obter a menor largura de frequência compatível com a vida finita \Delta t.

Passo 3

Cálculo numérico de \Delta \nu.
Usando \Delta t=10^{-8}\\ \text{s},
\Delta \nu_{\min} = \frac{1}{4\pi\Delta t} = \frac{1}{4\pi\times10^{-8}\\ \text{s}}.
Calculemos:
4\pi\times10^{-8}\approx 1{,}25663706\times10^{-7}\\ \text{s},
\Delta \nu_{\min}\approx \frac{1}{1{,}2566\times10^{-7}}\\ \text{Hz}\approx 7{,}96\times10^{6}\\ \text{Hz}.
Então a incerteza mínima na frequência é aproximadamente \Delta \nu_{\min}=7{,}96\times10^{6}\\ \text{Hz}.

Passo 4

Largura relativa da linha: relação entre \Delta\nu e \Delta\lambda.
  • A frequência e o comprimento de onda são relacionados por \nu=c/\lambda, onde c é a velocidade da luz. Diferenciando essa relação obtemos
\Delta \nu = -\frac{c}{\lambda^{2}}\Delta\lambda.
Dividindo por \nu=c/\lambda obtemos a relação para as larguras relativas (módulos):
\frac{\Delta \nu}{\nu} = \frac{\Delta \lambda}{\lambda}.
Ou seja, a largura relativa em comprimento de onda é numericamente igual à largura relativa em frequência. Para calcular numericamente precisamos da frequência central:
\nu = \frac{c}{\lambda}.
Usando c\approx 3{,}00\times10^{8}\\ \text{m/s} e \lambda=5{,}890\times10^{-10}\\ \text{m},
\nu \approx \frac{3{,}00\times10^{8}}{5{,}890\times10^{-10}}\\ \text{Hz} \approx 5{,}09\times10^{17}\\ \text{Hz}.
Agora a largura relativa é
\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{\Delta \nu}{\nu} \approx \frac{7{,}96\times10^{6}}{5{,}09\times10^{17}} \approx 1{,}56\times10^{-11}.

Passo 5

Cálculo da incerteza \Delta E na energia do estado excitado.
Usando \Delta E = h\,\Delta \nu_{\min} (consistente com a derivação anterior):
\Delta E = h\,\Delta \nu_{\min} \approx (6{,}626\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s})\times(7{,}96\times10^{6}\\ \text{Hz}).
Calculando:
\Delta E \approx 5{,}27\times10^{-27}\\ \text{J}.
Convertendo para elétron-volt ( 1\\ \text{eV}=1{,}602\times10^{-19}\\ \text{J} ):
\Delta E \approx \frac{5{,}27\times10^{-27}}{1{,}602\times10^{-19}}\\ \text{eV}\approx 3{,}29\times10^{-8}\\ \text{eV}.
Observação didática: a mesma \Delta E pode ser obtida diretamente pela forma \Delta E=\hbar/(2\Delta t); numericamente esse procedimento dá o mesmo valor mostrado acima.

Passo 6

Energia central E do fóton (energia do estado excitado relativa ao estado fundamental) e a precisão.
A energia do fóton centrada em \lambda é
E = \frac{h c}{\lambda}.
Usando h=6{,}626\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s}, c=3{,}00\times10^{8}\\ \text{m/s} e \lambda=5{,}890\times10^{-10}\\ \text{m},
E \approx \frac{6{,}626\times10^{-34}\times3{,}00\times10^{8}}{5{,}890\times10^{-10}}\\ \text{J} \approx 3{,}38\times10^{-16}\\ \text{J}.
Convertendo para eV,
E \approx \frac{3{,}38\times10^{-16}}{1{,}602\times10^{-19}}\\ \text{eV}\approx 2{,}11\times10^{3}\\ \text{eV} = 2{,}11\\ \text{keV}.
A precisão é \pm\Delta E com \Delta E calculada no Passo 5. Portanto a energia do estado excitado, com a incerteza, é aproximadamente
E=(3{,}38\times10^{-16}\pm5{,}27\times10^{-27})\\ \text{J},
ou em eV
E=(2{,}11\times10^{3}\pm3{,}29\times10^{-8})\\ \text{eV}.

Resposta

(a) \Delta \nu_{\min}\approx 7{,}96\times10^{6}\\ \text{Hz}
(b) \dfrac{\Delta \lambda}{\lambda}=\dfrac{\Delta \nu}{\nu}\approx 1{,}56\times10^{-11}
(c) \Delta E\approx 5{,}27\times10^{-27}\\ \text{J}\approx 3{,}29\times10^{-8}\\ \text{eV}
(d) E=\dfrac{hc}{\lambda}\approx 3{,}38\times10^{-16}\\ \text{J}=(2{,}11\times10^{3}\pm3{,}29\times10^{-8})\\ \text{eV}

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