1. Um termômetro e um manômetro são colocados num canto de um vaso flexível, de 25 \ell, contendo um gás. No instante t=0, o sistema principia a expandir-se, de modo que em t=5 \mathrm{~s}, quando o volume é 30 \ell, a leitura do manômetro é 1,8 \mathrm{~atm} e a do termômetro 20,0^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{Em} t=10 \mathrm{~s}, o sistema principia a contrair-se, de modo que em t= 14 s o volume é novamente 30 \ell; a leitura do manômetro é então 1,8 \mathrm{~atm}, e o termômetro indica 19^{\circ} \mathrm{C}. Se P e V definem um estado, explique as discrepâncias nas leituras da temperatura.

Passo 1

O enunciado descreve um vaso flexível contendo um gás, no qual medimos pressão (P), volume (V) e temperatura (T) em dois instantes distintos, durante uma expansão (em t=5\\ \mathrm{s}) e depois durante uma contração (em t=14\\ \mathrm{s}). Em ambos os instantes observamos
V=30\\ \ell,\quad P=1{,}8\\ \mathrm{atm}
mas as leituras do termômetro são diferentes ( 20{,}0^\circ\mathrm{C} na expansão e 19{,}0^\circ\mathrm{C} na contração). O conteúdo principal envolve o conceito de variáveis de estado de um gás ideal, a equação de estado e o requisito de equilíbrio termodinâmico para que P, V e T definam um mesmo estado.

Passo 2

Se o gás ideal estiver em equilíbrio, seus três dados devem satisfazer a equação de estado
P\,V = n\,R\,T.
Usando os valores da expansão em t=5\\ \mathrm{s} (convertendo 20{,}0^\circ\mathrm{C} em T=293\\ \mathrm{K} e V=30\\ \ell=0{,}030\\ \mathrm{m}^3, mas podemos manter litros e atm junto à constante R=0{,}082\,\ell\cdot\mathrm{atm}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm K)), encontramos um número de mols aproximado
n=\frac{P\,V}{R\,T} =\frac{1{,}8\times30}{0{,}082\times293}\approx2{,}25\\ \mathrm{mol}.
Na contração, se P e V são os mesmos e o gás ainda fosse homogêneo em equilíbrio, esperaríamos também T\approx293\\ \mathrm{K}. Mas a leitura foi 19{,}0^\circ\mathrm{C}, ou seja T=292\\ \mathrm K, indicando que a condição de “equilíbrio uniforme” não se cumpriu.

Passo 3

Isso acontece porque o processo de expansão e o de contração não foram quase-estáticos nem infinitamente lentos: havia gradientes de temperatura internos e o termômetro, por ter massa e capacitância térmica, não acompanha instantaneamente a temperatura média do gás. Durante a expansão, o gás resfria localmente ao se expandir e depois só aquece de forma retardada; na contração esse aquecimento ocorre de forma diferente, de modo que no mesmo par (P,V) a temperatura real do gás e a lida pelo termômetro são distintas.

Passo 4

Em termodinâmica, só podemos dizer que um conjunto (P,V,T) define um mesmo estado se o sistema estiver em equilíbrio termodinâmico e uniforme. Aqui, no instante em que se registra P e V, o gás não estava totalmente uniformizado e o termômetro ainda trocava calor com o interior, ocorrendo inércia térmica. Assim, apesar de (P,V) voltarem aos mesmos valores, o sistema não retorna ao mesmo estado de temperatura no momento da leitura.

Resposta

A diferença nas leituras de temperatura se deve ao fato de o processo ter sido rápido e não-quase-estático, gerando gradientes internos e inércia térmica do termômetro. Como o gás não estava em equilíbrio uniforme, (P,V) iguais não garantem a mesma T.

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