Certo planeta A, que orbita em torno do Sol, tem período orbital de 1 ano. Se um planeta B, tem raio orbital 3 vezes maior, qual será o tempo necessário para que esse planeta complete uma volta em torno do Sol.
a) 1,5 anos
b) 2,5 anos
c) 8,0 anos
d) 3,5 anos
e) 5,2 anos

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente o que temos):
  • Planeta A tem período orbital T_A = 1 ano.
  • Planeta B tem raio orbital r_B = 3\,r_A (ou seja, o raio de B é \,3 vezes o de A).
    O que o problema pede: determinar o período orbital T_B de B em anos e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Ideia física / matemática que vamos usar (pequena aula): para órbitas circulares sob a atração gravitacional do Sol, equacionamos a força gravitacional com a força centrípeta. Escrevendo isso:
\frac{G M m}{r^2}=\frac{m v^2}{r},
onde:
  • G é a constante gravitacional universal (constante),
  • M é a massa do Sol (constante para os dois planetas),
  • m é a massa do planeta (cancela-se na equação),
  • r é o raio da órbita,
  • v é a velocidade orbital do planeta.
Cancelando m e isolando v^2 obtemos
v^2=\frac{G M}{r}.
O período orbital T está relacionado com a velocidade e o raio por
T=\frac{2\pi r}{v}.
Elevando ao quadrado e substituindo v^2 resulta
T^2=\frac{4\pi^2 r^2}{v^2}=\frac{4\pi^2 r^2}{GM/r}=\frac{4\pi^2}{GM}\,r^3.
Isso mostra a relação básica que vamos usar: T^2 é proporcional a r^3. Em palavras: o quadrado do período é proporcional ao cubo do raio da órbita. Essa é a relação que permite comparar dois planetas sem conhecer G nem M.

Passo 3

Usando a proporcionalidade entre dois planetas A e B, temos
\frac{T_B^2}{T_A^2}=\frac{r_B^3}{r_A^3}\quad\Rightarrow\quad\frac{T_B}{T_A}=\left(\frac{r_B}{r_A}\right)^{3/2}.
Agora substituímos os dados: \,T_A=1 ano e \dfrac{r_B}{r_A}=3. Assim
T_B = T_A\left(\frac{r_B}{r_A}\right)^{3/2}=1\cdot 3^{3/2}.
Explicando o expoente fracionário: 3^{3/2}=(3^3)^{1/2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}.

Passo 4

Aproximação numérica (como fazer na prova sem muitas contas): sabe-se que \sqrt{3}\approx 1,732. Então
T_B = 3\sqrt{3}\approx 3\times 1,732=5,196\ldots
Arredondando para uma casa decimal (como nas alternativas), obtemos T_B\approx 5,2 anos. Dica de prova: sempre que o enunciado der uma razão de raios (aqui 3), use a relação em potência (\cdot)^{3/2} e compare com as alternativas — é rápido e elimina constantes.

Resposta

e) 5,2 anos

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