Certo planeta A, que orbita em torno do Sol, tem período orbital de 1 ano. Se um planeta B, tem raio orbital 3 vezes maior, qual será o tempo necessário para que esse planeta complete uma volta em torno do Sol.
a) 1,5 anos
b) 2,5 anos
c) 8,0 anos
d) 3,5 anos
e) 5,2 anos
a) 1,5 anos
b) 2,5 anos
c) 8,0 anos
d) 3,5 anos
e) 5,2 anos
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente o que temos):
- Planeta A tem período orbital
ano. - Planeta B tem raio orbital
(ou seja, o raio de B é vezes o de A).
O que o problema pede: determinar o período orbitalde B em anos e escolher a alternativa correta.
Passo 2
Ideia física / matemática que vamos usar (pequena aula): para órbitas circulares sob a atração gravitacional do Sol, equacionamos a força gravitacional com a força centrípeta. Escrevendo isso:
onde:
-
é a constante gravitacional universal (constante), -
é a massa do Sol (constante para os dois planetas), -
é a massa do planeta (cancela-se na equação), -
é o raio da órbita, -
é a velocidade orbital do planeta.
Cancelando
e isolando
obtemos
O período orbital
está relacionado com a velocidade e o raio por
Elevando ao quadrado e substituindo
resulta
Isso mostra a relação básica que vamos usar:
é proporcional a
. Em palavras: o quadrado do período é proporcional ao cubo do raio da órbita. Essa é a relação que permite comparar dois planetas sem conhecer
nem
.
Passo 3
Usando a proporcionalidade entre dois planetas A e B, temos
Agora substituímos os dados:
ano e
. Assim
Explicando o expoente fracionário:
Passo 4
Aproximação numérica (como fazer na prova sem muitas contas): sabe-se que
. Então
Arredondando para uma casa decimal (como nas alternativas), obtemos
anos. Dica de prova: sempre que o enunciado der uma razão de raios (aqui
), use a relação em potência
e compare com as alternativas — é rápido e elimina constantes.
Resposta
e)
anos