A Terra não possui densidade uniforme, ela é mais densa no seu centro e menos densa na sua superfície. Uma expressão aproximada para sua densidade é rho(r)=A-B r, onde e A=12700 kg / m^3 e B =1,50 times 10^-3 kg / m^4. Considere a Terra uma esfera de raio R=6,37 x 10^6 m. Substitua os valores de R, A e B e obtenha a massa da Terra dada pelo modelo acima.

Passo 1

Então, o exercício diz que a densidade da Terra varia conforme a distância ao centro, segundo
M = integral0^R rho(r),dV = integral0^R rho(r),4pi r^2,dr , com , e raio .
O conteúdo aqui é cálculo integral aplicado a física (densidade e massa), e vamos precisar saber como montar a integral da massa a partir da densidade variável em uma esfera:

Passo 2

Primeiro, explicando a teoria: se você tem densidade dm = rho(r),dV = rho(r)cdot 4pi r^2,dr que depende da distância M = integral0^R l(A-Brr),4pi r^2,dr ao centro, a massa de uma casquinha esférica de raio e espessura é
Para obter a massa total , somamos (integral) de até :

Passo 3

Agora, vamos integrar:
M = 4pi integral0^R l(A r^2 - B r^3r),dr =4pil[A,r^33-B,r^44r]0^R =4pil(A,R^33-B,R^44r)
Em seguida, substituímos 12700,(6,37times10^6)^33 approx 1,094times10^24 kgcdot m^3 , 1,50times10^-3,(6,37times10^6)^44 approx 0,617times10^24 kgcdot m^4 e M approx 4pil(1,094-0,617r)times10^24 =4picdot0,477times10^24 approx 6,0times10^24 kg :
  • Calcular :
  • Calcular :
Subtraindo os dois e multiplicando por :

Resposta

boxedM approx 6,0times10^24 kg

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