A Terra possui um carga elétrica líquida. O campo elétrico nas proximidades da superfície da Terra pode ser medido usando-se um instrumento eletrônico sensível, e seu valor médio, nessa medida, é de aproximadamente 250 N/C e está orientado para o centro da Terra. Qual a densidade superficial de carga correspondente e qual é a carga total na superfície da Terra ?
Escolha uma opção:
◯ a. 2,21 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} ;-1,13 \mathrm{MC}
◯ b. \quad-1,33 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} ;-680 \mathrm{kC}
◯ c. 1,33 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} ; 860 \mathrm{kC}
◯ d. \quad 2,21 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} ;-860 \mathrm{kC}
◯ e. -2,21 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} ;-860 \mathrm{kC}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Campo elétrico nas proximidades da superfície da Terra: \,E=250\\ \mathrm{N/C}\,, orientado para o centro da Terra (isto é, dirigido para dentro).
  • Perguntas:
    1. Qual a densidade superficial de carga correspondente?
    2. Qual a carga total na superfície da Terra?
Informações adicionais que vou usar (valores padrão):
  • Permissividade do vácuo: \displaystyle \epsilon_0 = 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Raio médio da Terra: \displaystyle R = 6{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Entendimento físico e a fórmula que relaciona campo elétrico com densidade superficial de carga.
  • Em uma superfície condutora (ou para a superfície externa da Terra tratada como superfície que sustenta a carga), o campo elétrico imediatamente fora da superfície, na direção normal à superfície, tem módulo ligado à densidade superficial de carga \sigma por:
\displaystyle E_{\perp}=\frac{|\sigma|}{\epsilon_0}.
  • O sinal da densidade superficial \sigma é tal que as linhas de campo apontam para fora quando \sigma>0 e para dentro quando \sigma<0. Como o campo está orientado para o centro da Terra (para dentro), a densidade superficial é negativa.
  • Portanto, a relação com sinal é
\displaystyle \sigma = -\epsilon_0\,E,
onde E é o módulo do campo medido fora da superfície.

Passo 3

Cálculo da densidade superficial \sigma, passo a passo.
  • Usando a fórmula \displaystyle \sigma = -\epsilon_0\,E e os valores dados:
\displaystyle \sigma = -\bigl(8{,}85\times10^{-12}\bigr)\times 250.
  • Efetuando a multiplicação:
\displaystyle \sigma = -2{,}2125\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
  • Arredondando com duas casas significativas (compatível com os dados fornecidos):
\displaystyle \sigma \approx -2{,}21\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}} = -2{,}21\\ \mathrm{nC/m^{2}}.
Observação motivadora: dá um frio na barriga ver um número tão pequeno por metro quadrado, mas a área é enorme — logo a carga total pode ser grande em módulo.

Passo 4

Cálculo da carga total Q na superfície da Terra.
  • A carga total distribuída sobre a superfície esférica é
\displaystyle Q = \sigma \times A,
onde a área da esfera é
\displaystyle A = 4\pi R^{2}.
  • Primeiro calcular R^{2}:
\displaystyle R^{2}=(6{,}37\times10^{6})^{2}=4{,}0577\times10^{13}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Agora a área:
\displaystyle A = 4\pi R^{2} = 4\pi\times 4{,}0577\times10^{13} \approx 5{,}1006\times10^{14}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Multiplicando para obter Q:
\displaystyle Q = \sigma\,A \approx \bigl(-2{,}2125\times10^{-9}\bigr)\times\bigl(5{,}1006\times10^{14}\bigr).
  • Efetuando a multiplicação:
\displaystyle Q \approx -1{,}1287\times10^{6}\\ \mathrm{C}.
  • Arredondando com três algarismos significativos:
\displaystyle Q \approx -1{,}13\times10^{6}\\ \mathrm{C} = -1{,}13\\ \mathrm{MC}.

Passo 5

Interpretação final e comparação com as alternativas.
  • Resultado calculado:
    • \displaystyle \sigma \approx -2{,}21\\ \mathrm{nC/m^{2}}.
    • \displaystyle Q \approx -1{,}13\\ \mathrm{MC}.
  • Comparando com as opções dadas, a alternativa cuja carga total coincide com o calculado é a alternativa (a), que lista \, -1{,}13\\ \mathrm{MC}\, para a carga total. A alternativa (a) apresenta a densidade superficial como 2{,}21\\ \mathrm{nC/m^{2}} (valor numérico de mesma magnitude que o calculado); o sinal negativo da densidade aparece explicitamente na nossa dedução porque o campo aponta para dentro, portanto \sigma deve ser negativo. Assim, a opção (a) é a que melhor corresponde aos valores calculados (mesma magnitude de \sigma e mesmo valor de Q com sinal negativo).

Resposta

a.

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