Duas cargas puntiformes positivas iguais q1 e q2 =4 \mu \mathrm{C} estão localizadas em \mathrm{x} 1=0 \mathrm{~m} ; \mathrm{y} 1= 0,3 \mathrm{~m} e \times 2=0 \mathrm{~m} ; \mathrm{y} 1=-0,3 \mathrm{~m}, respectivamente. Determine a força elétrica resultante que essas cargas exercem sobre \mathrm{q} 3=-3 \mu \mathrm{C} em \times 3=0,4 \mathrm{~m} ; \mathrm{y} 3=0 \mathrm{~m}.
Escolha uma opção:
◯ a. \quad \mathrm{Fr}=0,46 \mathrm{j}
◯ b. \operatorname{Fr}=-0,46 \mathrm{i}+0,46 \mathrm{j}
◯ c. \mathrm{Fr}=-0,69 \hat{i}
◯ d. \mathrm{Fr}=0,69 \hat{i}-0,46 \mathrm{j}
◯ e. \mathrm{Fr}=0,69 \hat{\imath}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a força elétrica resultante que as cargas q_1 e q_2 exercem sobre q_3.
Dados fornecidos (peguei todos esses números do enunciado):
  • Carga q_1=4\\ \mu\mathrm{C} localizada em (x_1,y_1)=(0\\ \mathrm{m},\;0,3\\ \mathrm{m}).
  • Carga q_2=4\\ \mu\mathrm{C} localizada em (x_2,y_2)=(0\\ \mathrm{m},\;-0,3\\ \mathrm{m}).
  • Carga q_3=-3\\ \mu\mathrm{C} localizada em (x_3,y_3)=(0,4\\ \mathrm{m},\;0\\ \mathrm{m}).
O que se pede: calcular o vetor força resultante \mathrm{Fr} (em newtons) sobre q_3 devido a q_1 e q_2.

Passo 2

Lembrete e fórmula que vou usar (aula rápida de Coulomb):
  • A força elétrica entre duas cargas puntiformes q_a e q_b é dada por Coulomb:
\vec{F}_{a\to b}=k\frac{q_a q_b}{r^2}\,\hat{r}_{ab}
onde:
  • k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2} (constante eletrostática),
  • r é a distância entre as cargas,
  • \hat{r}_{ab} é o vetor unitário que aponta de b para a (ou, equivalentemente, a direção da força sobre b causada por a, lembrando o sinal dos q's),
  • q_a q_b pode ser negativo, determinando direção atrativa/repulsiva.
  • Forma vetorial útil:
\vec F = k\,q_i q_3\,\frac{\vec r_{3\to i}}{|\vec r_{3\to i}|^{3}}
onde \vec r_{3\to i}=\vec r_i-\vec r_3 é o vetor que vai de q_3 até q_i.
Observação prática: converto microcoulomb para coulomb:
1\\ \mu\mathrm{C}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Passo 3

Calcular vetores posição relativos e distâncias (usei as coordenadas do enunciado):
  • Vetor de q_3 até q_1:
\vec r_{3\to 1}=(x_1-x_3,\;y_1-y_3)=(0-0,4,\;0,3-0)=(-0,4,\;0,3)\\ \mathrm{m}.
  • Distância entre q_3 e q_1:
r_{31}=|\vec r_{3\to 1}|=\sqrt{(-0,4)^2+(0,3)^2}=\sqrt{0,16+0,09}=\sqrt{0,25}=0,5\\ \mathrm{m}.
  • Vetor de q_3 até q_2:
\vec r_{3\to 2}=(x_2-x_3,\;y_2-y_3)=(0-0,4,\;-0,3-0)=(-0,4,\;-0,3)\\ \mathrm{m}.
  • Distância entre q_3 e q_2:
r_{32}=|\vec r_{3\to 2}|=\sqrt{(-0,4)^2+(-0,3)^2}=\sqrt{0,16+0,09}=0,5\\ \mathrm{m}.
Observação: as duas distâncias são iguais ( 0,5\\ \mathrm{m}), então as magnitudes das forças de q_1 e q_2 sobre q_3 serão iguais.

Passo 4

Calcular a magnitude da força de cada carga sobre q_3.
Converto cargas para coulomb:
q_1=4\times10^{-6}\\ \mathrm{C},\qquad q_2=4\times10^{-6}\\ \mathrm{C},\qquad q_3=-3\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Produto em módulo:
|q_1 q_3|=4\times10^{-6}\cdot 3\times10^{-6}=12\times10^{-12}=1,2\times10^{-11}\\ \mathrm{C^2}.
Magnitude da força (cada uma):
F = k\frac{|q_1 q_3|}{r^2} =8{,}99\times10^{9}\cdot\frac{1,2\times10^{-11}}{(0,5)^2}.
Calculo passo a passo:
8{,}99\times10^{9}\cdot1,2\times10^{-11}=8{,}99\cdot1,2\times10^{-2}=10{,}788\times10^{-2}=0{,}10788
F=\frac{0{,}10788}{0{,}25}=0{,}43152\\ \mathrm{N}.
Arredondando razoavelmente: F\approx0,4315\\ \mathrm{N} para cada interação q_1- q_3 e q_2- q_3.

Passo 5

Determinar componentes vetoriais de cada força (a direção é de atração, pois q_3 é negativa e q_1,q_2 positivas — logo q_3 é atraída para q_1 e q_2).
Unidade dos vetores:
  • Unitário de q_3\to q_1:
\hat u_{31}=\frac{\vec r_{3\to 1}}{r_{31}}=\frac{(-0,4,\;0,3)}{0,5}=(-0,8,\;0,6).
  • Unitário de q_3\to q_2:
\hat u_{32}=\frac{\vec r_{3\to 2}}{r_{32}}=\frac{(-0,4,\;-0,3)}{0,5}=(-0,8,\;-0,6).
Componentes das forças (cada magnitude F=0,43152\\ \mathrm{N}):
  • Força devido a q_1:
\vec F_{1} = F\,\hat u_{31} = 0{,}43152\,(-0,8,\;0,6)=(-0{,}345216,\;0{,}258912)\\ \mathrm{N}.
  • Força devido a q_2:
\vec F_{2} = F\,\hat u_{32} = 0{,}43152\,(-0,8,\;-0,6)=(-0{,}345216,\;-0{,}258912)\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Somar vetorialmente as componentes para obter a resultante:
  • Componente x:
F_x= -0{,}345216 + (-0{,}345216) = -0{,}690432\\ \mathrm{N}.
  • Componente y:
F_y= 0{,}258912 + (-0{,}258912) = 0\\ \mathrm{N}.
Portanto a força resultante é um vetor ao longo do eixo x negativo:
\vec{\mathrm{Fr}} = (-0{,}690432,\;0)\\ \mathrm{N}.
Arredondando para duas casas decimais (consistente com as opções dadas): -0{,}69\\ \mathrm{N} na direção \hat{\imath} negativa.

Resposta

\mathrm{Fr}=-0,69\\ \hat{\imath}

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