Um terreno em formato retangular tem perímetro igual a 40 m .
(a) Expresse a área desse terreno em função do comprimento de um dos lados (não se esqueça de determinar o domínio).
(b) Construa o gráfico dessa função.
(c) Determine as dimensões desse terreno para que a área seja máxima.
(a) Expresse a área desse terreno em função do comprimento de um dos lados (não se esqueça de determinar o domínio).
(b) Construa o gráfico dessa função.
(c) Determine as dimensões desse terreno para que a área seja máxima.
Passo 1
O enunciado dá um terreno retangular com perímetro igual a
e pede três coisas:
- (a) Expressar a área em função do comprimento de um dos lados e determinar o domínio dessa função.
- (b) Construir (descrever) o gráfico dessa função.
- (c) Determinar as dimensões do terreno para que a área seja máxima.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Chamarei os lados do retângulo de
e
, ambos medidos em metros, e vou tomar
como a variável independente (o comprimento “de um dos lados” pedido).
Passo 2
Relacionando perímetro e lados: para um retângulo o perímetro
satisfaz
Como
, substituo:
Isolo
para expressá-lo em função de
: divido por
e passo
pro outro lado,
Esse passo é só álgebra básica: isolamos a variável para poder escrever a área apenas em função de
.
Passo 3
Fórmula da área de um retângulo: área
é o produto dos lados,
Substituo
da etapa anterior:
Multiplicando os termos:
Aqui
dá a área em metros quadrados quando
está em metros. Esta é uma função quadrática (polinômio de segundo grau) em
.
Passo 4
Determinar o domínio físico: os comprimentos
e
devem ser não negativos. Como
, exigimos
e
. Isso dá
Se quisermos excluir retângulos degenerados (lado nulo), podemos tomar o domínio estrito
Na prática, tanto
(incluindo degenerados com área
) quanto
(somente retângulos com área positiva) fazem sentido; vou adotar o domínio físico fechado
e observar que para retângulos não-degenerados o domínio é
.
Passo 5
Análise do formato da função para desenhar o gráfico: temos
É um polinômio quadrático com coeficiente de
negativo (
), portanto é uma parábola que se abre para baixo — isso significa que a função tem um máximo (no vértice) e interceptos com o eixo
.
Encontro os interceptos com o eixo
resolvendo
:
Portanto o gráfico cruza o eixo
nos pontos
e
(note que as coordenadas estão em
:
e
).
Passo 6
Achar o vértice (ponto de máximo) pela técnica de completar o quadrado — método elementar e que dá a posição e o valor máximo sem cálculo diferencial.
Começo com
Fatorando
do termo quadrático:
Complete o quadrado dentro do parêntese: lembrando que
porque
. Então
Distribuo o sinal negativo:
Essa forma é muito informativa: é uma parábola com vértice no ponto onde
, ou seja em
, e o valor da área nesse vértice é
. Logo o vértice é o ponto
.
Interpretação: como a parábola abre para baixo, o vértice é um máximo. Assim a área máxima é
ocorrendo quando
. Calculando
correspondente,
Passo 7
Interpretação final e observação útil: as dimensões que maximizam a área, dadas restrição de perímetro fixo, formam um quadrado de lado
. Isso é um resultado geral (intuitivo e demonstrável): entre todos os retângulos com perímetro fixo, o quadrado tem a maior área. Aqui vimos isso concretamente ao encontrar o vértice da parábola.
Resposta
(a)
com domínio físico
(ou
se excluir retângulos degenerados).\n
(b) Gráfico: parábola que abre para baixo dada por , interceptos em
e
, vértice em
(máximo), eixo de simetria
.\n
(c) Dimensões para área máxima: e
(área máxima
).
(b) Gráfico: parábola que abre para baixo dada por
(c) Dimensões para área máxima: