José quer construir uma caixa d’água cilindrica para sua fazenda com uma capacidade de 11.000 metros cúbicos. O custo do material usado na tampa é
3,00
R $5,00$ o metro quadrado. Expresse o custo total de construção em função do raio da base da caixa d’água.
Passo 1
O enunciado pede que expressemos o custo total de construção da caixa d’água como função do raio da base. Informações fornecidas:
- Capacidade (volume) da caixa:
. - Custo do material da tampa:
por metro quadrado. - Custo do material do fundo e da superfície lateral:
por metro quadrado. - A caixa é cilíndrica, então as incógnitas geométricas são o raio da base
(variável) e a altura (dependente de ). - Objetivo: escrever
, o custo total em função de . - Observação importante: o raio deve ser positivo, isto é
.
Passo 2
Vamos relacionar volume, raio e altura para poder eliminar
. A fórmula do volume de um cilindro é
onde
é o volume em metros cúbicos,
é o raio em metros e
é a altura em metros. Usando
obtemos
em função de
:
Aqui isolamos
dividindo ambos os lados da igualdade por
.
Passo 3
Agora calculamos as áreas que entram no custo.
- Área da tampa (circular):
- Área do fundo (circular):
- Área lateral (superfície lateral de um cilindro):
Explicação rápida: a circunferência da base é
; ao “desenrolar” a lateral ela forma um retângulo de largura
e altura
, então a área é
.
Passo 4
Montamos o custo total somando custo de cada parte (custo = preço por m² × área).
- Custo da tampa:
(R$/m²) × . - Custo do fundo:
(R$/m²) × . - Custo da lateral:
(R$/m²) × .
Somando tudo, obtemos inicialmente
Somando os dois primeiros termos:
Passo 5
Substituímos
(obtido no Passo 2) em
. Primeiro escrevemos o termo lateral:
Agora simplificamos: o fator
cancela e um
do numerador cancela com um
do denominador, ficando
Portanto a expressão final do custo em função de
é
com
. Aqui
está em reais (R$) se
for dado em metros.