José quer construir uma caixa d’água cilindrica para sua fazenda com uma capacidade de 11.000 metros cúbicos. O custo do material usado na tampa é R \ 3,00 o metro quadrado, enquanto o custo do material usado no fundo e na superfície lateral éíéR $5,00$ o metro quadrado. Expresse o custo total de construção em função do raio da base da caixa d’água.

Passo 1

O enunciado pede que expressemos o custo total de construção da caixa d’água como função do raio da base. Informações fornecidas:
  • Capacidade (volume) da caixa: \,V=11000\\ \text{m}^3.
  • Custo do material da tampa: \,R\$3,00 por metro quadrado.
  • Custo do material do fundo e da superfície lateral: \,R\$5,00 por metro quadrado.
  • A caixa é cilíndrica, então as incógnitas geométricas são o raio da base \,r (variável) e a altura \,h (dependente de \,r).
  • Objetivo: escrever C(r), o custo total em função de \,r.
  • Observação importante: o raio deve ser positivo, isto é \,r>0.

Passo 2

Vamos relacionar volume, raio e altura para poder eliminar \,h. A fórmula do volume de um cilindro é
V=\pi r^2 h,
onde \,V é o volume em metros cúbicos, \,r é o raio em metros e \,h é a altura em metros. Usando \,V=11000 obtemos \,h em função de \,r:
h=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{11000}{\pi r^2}.
Aqui isolamos \,h dividindo ambos os lados da igualdade por \pi r^2.

Passo 3

Agora calculamos as áreas que entram no custo.
  • Área da tampa (circular): A_{\text{tampa}}=\pi r^2.
  • Área do fundo (circular): A_{\text{fundo}}=\pi r^2.
  • Área lateral (superfície lateral de um cilindro): A_{\text{lat}}= \text{(circunferência)}\times\text{altura}=2\pi r h.ê
Explicação rápida: a circunferência da base é 2\pi r; ao “desenrolar” a lateral ela forma um retângulo de largura 2\pi r e altura h, então a área é 2\pi r h.

Passo 4

Montamos o custo total somando custo de cada parte (custo = preço por m² × área).
  • Custo da tampa: 3 (R$/m²) × A_{\text{tampa}}=\;3\pi r^2.
  • Custo do fundo: 5 (R$/m²) × A_{\text{fundo}}=\;5\pi r^2.
  • Custo da lateral: 5 (R$/m²) × A_{\text{lat}}=\;5\cdot(2\pi r h)=10\pi r h.
Somando tudo, obtemos inicialmente
C(r)=3\pi r^2+5\pi r^2+10\pi r h.
Somando os dois primeiros termos:
C(r)=8\pi r^2+10\pi r h.

Passo 5

Substituímos \,h (obtido no Passo 2) em \,C(r). Primeiro escrevemos o termo lateral:
10\pi r h = 10\pi r \cdot \frac{11000}{\pi r^2}.
Agora simplificamos: o fator \pi cancela e um \,r do numerador cancela com um \,r^2 do denominador, ficando
10\pi r \cdot \frac{11000}{\pi r^2}=10\cdot 11000\cdot\frac{1}{r}=\frac{110000}{r}.
Portanto a expressão final do custo em função de \,r é
C(r)=8\pi r^2+\frac{110000}{r},
com \,r>0. Aqui C(r) está em reais (R$) se \,r for dado em metros.

Resposta

C(r)=8\pi r^2+\frac{110000}{r}

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