Test for exactness. If exact, solve. If not, use an integrating factor as given or obtained by inspection or by the theorems in the text. Also, if an initial condition is given, find the corresponding particular solution.
e^x(cos y d x-sin y d y)=0

Passo 1

A equação diferencial dada é
e^x(cos y,dx - sin y,dy)=0
Precisamos testar exatidão da forma diferencial e, estando exata, resolver usando função potencial.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=e^xcos y, N(x,y)=-e^xsin y
Calculamos
partial Mpartial y=-e^xsin y, partial Npartial x=-e^xsin y
Como coincidem, a forma é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x=M=e^xcos y
Integrando em relação a x:
$$
\Psi(x,y)=\int e^x\cos y,dx=e^x\cos y + h(y).
$$

Passo 4

Derivando Psi em relação a y:
partial Psipartial y=-e^xsin y + h'(y)
Igualando a N=-e^xsin y obtém-se h'(y)=0, ou seja, h é constante. Logo a solução implícita é
Psi(x,y)=e^xcos y=C

Resposta

e^xcos y=C

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