Num teste de 10 questões, cada uma com três alternativas, das quais, uma certa, qual a probabilidade de um aluno, respondendo ao acaso, acertar exatamente 5 questões?
Resp.: 8064/59049 ou 13,65 \%.

Passo 1

O enunciado pergunta: qual a probabilidade de um aluno, respondendo ao acaso, acertar exatamente 5 questões em um teste de 10 perguntas, cada uma com 3 alternativas (apenas uma certa)?\n
Informações dadas e importantes:
  • Número total de questões: n=10.
  • Número de acertos desejados: k=5.
  • Para cada questão, há 3 alternativas e 1 é certa, logo a probabilidade de acertar uma questão ao acaso é p=\tfrac{1}{3}.
  • Consequentemente, a probabilidade de errar uma questão é 1-p=\tfrac{2}{3}.
  • Assumimos que as respostas às questões são independentes (o resultado em uma não afeta as outras).

Passo 2

Ideia geral (sem ainda calcular): para obter exatamente k=5 acertos em n=10 tentativas independentes com probabilidade de sucesso p por tentativa, usamos a fórmula da distribuição binomial:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Explicando essa fórmula passo a passo:
  • X é a variável aleatória “número de acertos”.
  • \binom{n}{k} conta de quantas maneiras diferentes podemos escolher quais k questões (entre as n) serão as acertadas — isso trata a parte combinatória.
  • p^{k} é a probabilidade de, para uma seleção fixa de k questões, todas essas saírem corretas.
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade de que as n-k questões restantes estejam erradas.
    Tudo junto dá a probabilidade de exatamente k acertos em qualquer disposição possível desses acertos.

Passo 3

Calcular a combinação \binom{10}{5} (número de maneiras de escolher 5 questões certas entre 10). A definição:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\cdots\cdot 1. Aplicando:
\binom{10}{5}=\frac{10!}{5!\,5!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}.
Agora simplificamos passo a passo:
\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = \frac{10}{5}\cdot\frac{9}{3}\cdot\frac{8}{4}\cdot\frac{7}{1}\cdot\frac{6}{2} =2\cdot 3\cdot 2\cdot 7\cdot 3=252.
Portanto \binom{10}{5}=252.

Passo 4

Calcular a probabilidade de uma configuração fixa de 5 acertos e 5 erros. Para uma seleção fixa de 5 questões acertadas:
  • Probabilidade de essas 5 estarem corretas: p^{5}=\left(\tfrac{1}{3}\right)^{5}.
  • Probabilidade de as outras 5 estarem erradas: (1-p)^{5}=\left(\tfrac{2}{3}\right)^{5}.
    Multiplicando (regra do produto para eventos independentes):
\left(\tfrac{1}{3}\right)^{5}\left(\tfrac{2}{3}\right)^{5}=\frac{1^{5}\cdot 2^{5}}{3^{10}}=\frac{32}{3^{10}}.
Calculando as potências de 3: 3^{5}=243 e 3^{10}=(3^{5})^{2}=243^{2}=59049. Então
\left(\tfrac{1}{3}\right)^{5}\left(\tfrac{2}{3}\right)^{5}=\frac{32}{59049}.

Passo 5

Agora multiplicamos pelo número de escolhas possíveis de quais 5 questões são as corretas:
P(\text{exatamente }5)=\binom{10}{5}\cdot \frac{32}{59049}=252\cdot\frac{32}{59049}.
Faço a multiplicação 252\cdot 32 em passos:
252\cdot 30=7560,\qquad 252\cdot 2=504,\qquad 7560+504=8064.
Logo
P(\text{exatamente }5)=\frac{8064}{59049}.
Se quisermos simplificar a fração, dividindo por 9: 8064\div 9=896 e 59049\div 9=6561, então equivalente a \tfrac{896}{6561}. Mas a forma \tfrac{8064}{59049} é a resposta exata pedida.

Passo 6

Converter para porcentagem (aproximação): calculando o valor decimal,
\frac{8064}{59049}\approx 0{,}1365,
que em porcentagem é aproximadamente 13{,}65\% (arredondando para duas casas decimais). Observação: se calcular com mais casas, dá algo como 13{,}656\%, então 13{,}65\% é um arredondamento comum.

Passo 7

Resumo didático curto (como lembrar na hora da prova):
  • Cada questão é uma tentativa independente com p=\tfrac{1}{3}.
  • Use a fórmula binomial \;P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\;.
  • Calcule \binom{n}{k} por fatoriais (ou simplificando o produto), calcule as potências, multiplique e converta para porcentagem se pedirem.
    Se quiser um exemplo menor para treinar: para n=3 e querer exatamente 1 acerto,
P=\binom{3}{1}\left(\tfrac{1}{3}\right)^{1}\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}=3\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{9}=\frac{4}{9}\approx 44{,}44\%.
Isso ajuda a fixar a ideia.

Resposta

\dfrac{8064}{59049}\n
13{,}65\%

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