Num teste de 10 questões, cada uma com três alternativas, das quais, uma certa, qual a probabilidade de um aluno, respondendo ao acaso, acertar exatamente 5 questões?
Resp.: 8064/59049 ou
.
Resp.: 8064/59049 ou
Passo 1
O enunciado pergunta: qual a probabilidade de um aluno, respondendo ao acaso, acertar exatamente 5 questões em um teste de 10 perguntas, cada uma com 3 alternativas (apenas uma certa)?\n
Informações dadas e importantes:
Informações dadas e importantes:
- Número total de questões:
. - Número de acertos desejados:
. - Para cada questão, há 3 alternativas e 1 é certa, logo a probabilidade de acertar uma questão ao acaso é
. - Consequentemente, a probabilidade de errar uma questão é
. - Assumimos que as respostas às questões são independentes (o resultado em uma não afeta as outras).
Passo 2
Ideia geral (sem ainda calcular): para obter exatamente
acertos em
tentativas independentes com probabilidade de sucesso
por tentativa, usamos a fórmula da distribuição binomial:
Explicando essa fórmula passo a passo:
-
é a variável aleatória “número de acertos”. -
conta de quantas maneiras diferentes podemos escolher quais questões (entre as ) serão as acertadas — isso trata a parte combinatória. -
é a probabilidade de, para uma seleção fixa de questões, todas essas saírem corretas. -
é a probabilidade de que as questões restantes estejam erradas.
Tudo junto dá a probabilidade de exatamenteacertos em qualquer disposição possível desses acertos.
Passo 3
Calcular a combinação
(número de maneiras de escolher 5 questões certas entre 10). A definição:
onde
(fatorial) significa
. Aplicando:
Agora simplificamos passo a passo:
Portanto
.
Passo 4
Calcular a probabilidade de uma configuração fixa de 5 acertos e 5 erros. Para uma seleção fixa de 5 questões acertadas:
- Probabilidade de essas 5 estarem corretas:
. - Probabilidade de as outras 5 estarem erradas:
.
Multiplicando (regra do produto para eventos independentes):
Calculando as potências de
:
e
. Então
Passo 5
Agora multiplicamos pelo número de escolhas possíveis de quais 5 questões são as corretas:
Faço a multiplicação
em passos:
Logo
Se quisermos simplificar a fração, dividindo por
:
e
, então equivalente a
. Mas a forma
é a resposta exata pedida.
Passo 6
Converter para porcentagem (aproximação): calculando o valor decimal,
que em porcentagem é aproximadamente
(arredondando para duas casas decimais). Observação: se calcular com mais casas, dá algo como
, então
é um arredondamento comum.
Passo 7
Resumo didático curto (como lembrar na hora da prova):
- Cada questão é uma tentativa independente com
. - Use a fórmula binomial
. - Calcule
por fatoriais (ou simplificando o produto), calcule as potências, multiplique e converta para porcentagem se pedirem.
Se quiser um exemplo menor para treinar: parae querer exatamente 1 acerto,
Isso ajuda a fixar a ideia.