Uma Companhia de aviões vende passagens para vôos diversos. Sabe-se que 5 \% das pessoas que fazem reserva para determinado vôo não comparecem ao embarque. Conseqüentemente, adotou-se o critério de vender 77 passagens para um avião de 75 lugares. Qual a probabilidade de num determinado dia, todos os que comparecerem ao embarque encontrem lugar?
Resp.: \mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 75).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta:
  • Foram vendidas 77 passagens para um avião com 75 lugares.
  • A probabilidade de um passageiro que fez reserva não comparecer é 5\%, ou seja, a probabilidade de comparecer é 95\%.
  • Pergunta: qual a probabilidade de, num dia qualquer, todos os que comparecerem ao embarque encontrarem lugar?
    Em outras palavras, qual é a probabilidade de que o número de passageiros que comparecem seja menor ou igual a 75.
    Logo o que se pede é calcular \mathrm{P}(X \leqslant 75).

Passo 2

Vamos modelar a situação com uma variável aleatória simples e natural:
  • Defina X como o número de passageiros (entre os 77 que compraram) que efetivamente comparecem ao embarque.
  • Admitimos que cada passageiro comparece independentemente dos outros e que cada um comparece com probabilidade p=0,95. Então X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=77 e p=0,95. Escrevemos X \sim \mathrm{Bin}(n=77,p=0,95).
Agora uma palavrinha didática sobre a binomial: a distribuição binomial modela o número de “sucessos” em n tentativas independentes, cada uma com probabilidade p de sucesso. A fórmula para a probabilidade de exatamente k sucessos é
\mathrm{P}(X=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (o número de maneiras de escolher quais k dentre n deram sucesso). Um exemplo pequeno para fixar a ideia: se n=2 e p=0,5, então \mathrm{P}(X=1)=\binom{2}{1}0,5^{1}0,5^{1}=2\cdot 0,25=0,5.

Passo 3

O evento “todos que comparecerem encontrem lugar” é exatamente "o número de que comparecem é menor ou igual a 75". Então queremos
\mathrm{P}(X\leqslant 75).
É mais fácil calcular complementando:
\mathrm{P}(X\leqslant 75)=1-\mathrm{P}(X\geqslant 76)=1-\big(\mathrm{P}(X=76)+\mathrm{P}(X=77)\big).
Isso reduz o trabalho, porque só precisamos das probabilidades de k=76 e k=77, que são fáceis de escrever com a fórmula binomial.

Passo 4

Calculemos \mathrm{P}(X=77) e \mathrm{P}(X=76) usando a fórmula binomial.
  • Para k=77:
    \mathrm{P}(X=77)=\binom{77}{77}0,95^{77}0,05^{0}=0,95^{77}.
    (Porque \binom{77}{77}=1 e 0,05^{0}=1.)
  • Para k=76:
    \mathrm{P}(X=76)=\binom{77}{76}0,95^{76}0,05^{1}=77\cdot 0,95^{76}\cdot 0,05,
    pois \binom{77}{76}=77.
Portanto
\mathrm{P}(X\leqslant 75)=1-\big(77\cdot 0,95^{76}\cdot 0,05 + 0,95^{77}\big).

Passo 5

Vamos simplificar um pouco essa expressão para ficar mais elegante e (se quiser) calcular numericamente com menos trabalho algébrico. Fatore 0,95^{76}:
\mathrm{P}(X\leqslant 75)=1-0,95^{76}\big(77\cdot 0,05 + 0,95\big).
Calcule o parêntese:
77\cdot 0,05 + 0,95 = 3,85 + 0,95 = 4,8.
Logo uma forma compacta é
\mathrm{P}(X\leqslant 75)=1-4,8\cdot 0,95^{76}.
Se preferir outra forma equivalente, podemos escrever (dividindo por 0,95):
\mathrm{P}(X\leqslant 75)=1-0,95^{77}\cdot \frac{96}{19}.
Ambas as expressões são idênticas; a primeira é talvez mais direta para cálculo numérico.

Passo 6

Agora um cálculo aproximado do valor numérico para ter uma ideia prática (vou usar aproximação pelo logaritmo natural para avaliar 0,95^{76}).
  • Calcule \ln(0,95). Usando a série ou uma tabela, temos aproximadamente \ln(0,95)\approx -0,051293.
  • Então \ln(0,95^{76})=76\cdot \ln(0,95)\approx 76\cdot (-0,051293)\approx -3,897.
  • Assim 0,95^{76}\approx e^{-3,897}\approx 0,0203 (aproximação).
  • Multiplicando por 4,8: 4,8\cdot 0,95^{76}\approx 4,8\cdot 0,0203\approx 0,0974.
  • Finalmente \mathrm{P}(X\leqslant 75)\approx 1-0,0974=0,9026.
Interpretação: há cerca de 90{,}26\% de chance de que, num dia qualquer, todos os que comparecerem encontrem lugar — ou seja, a overbooking de vender 77 para 75 dá uma probabilidade de falta de assento de cerca de 9{,}74\%.

Resposta

\mathrm{P}(X\leqslant 75)=1-77\cdot 0,95^{76}\cdot 0,05-0,95^{77}\approx 0,9026

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