Uma Companhia de aviões vende passagens para vôos diversos. Sabe-se que
das pessoas que fazem reserva para determinado vôo não comparecem ao embarque. Conseqüentemente, adotou-se o critério de vender 77 passagens para um avião de 75 lugares. Qual a probabilidade de num determinado dia, todos os que comparecerem ao embarque encontrem lugar?
Resp.:
.
Resp.:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta:
- Foram vendidas
passagens para um avião com lugares. - A probabilidade de um passageiro que fez reserva não comparecer é
, ou seja, a probabilidade de comparecer é . - Pergunta: qual a probabilidade de, num dia qualquer, todos os que comparecerem ao embarque encontrarem lugar?
Em outras palavras, qual é a probabilidade de que o número de passageiros que comparecem seja menor ou igual a.
Logo o que se pede é calcular.
Passo 2
Vamos modelar a situação com uma variável aleatória simples e natural:
- Defina
como o número de passageiros (entre os que compraram) que efetivamente comparecem ao embarque. - Admitimos que cada passageiro comparece independentemente dos outros e que cada um comparece com probabilidade
. Então segue uma distribuição binomial com parâmetros e . Escrevemos
Agora uma palavrinha didática sobre a binomial: a distribuição binomial modela o número de “sucessos” em
tentativas independentes, cada uma com probabilidade
de sucesso. A fórmula para a probabilidade de exatamente
sucessos é
onde
é o coeficiente binomial (o número de maneiras de escolher quais
dentre
deram sucesso). Um exemplo pequeno para fixar a ideia: se
e
, então
.
Passo 3
O evento “todos que comparecerem encontrem lugar” é exatamente "o número de que comparecem é menor ou igual a
". Então queremos
É mais fácil calcular complementando:
Isso reduz o trabalho, porque só precisamos das probabilidades de
e
, que são fáceis de escrever com a fórmula binomial.
Passo 4
Calculemos
e
usando a fórmula binomial.
-
Para
: (Porquee .) -
Para
: pois.
Portanto
Passo 5
Vamos simplificar um pouco essa expressão para ficar mais elegante e (se quiser) calcular numericamente com menos trabalho algébrico. Fatore
:
Calcule o parêntese:
Logo uma forma compacta é
Se preferir outra forma equivalente, podemos escrever (dividindo por
):
Ambas as expressões são idênticas; a primeira é talvez mais direta para cálculo numérico.
Passo 6
Agora um cálculo aproximado do valor numérico para ter uma ideia prática (vou usar aproximação pelo logaritmo natural para avaliar
).
- Calcule
. Usando a série ou uma tabela, temos aproximadamente . - Então
. - Assim
(aproximação). - Multiplicando por
: . - Finalmente
Interpretação: há cerca de
de chance de que, num dia qualquer, todos os que comparecerem encontrem lugar — ou seja, a overbooking de vender 77 para 75 dá uma probabilidade de falta de assento de cerca de
.